专题42 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题42椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质

1．椭圆的定义(1)文字语言：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数．注意：若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2说明：离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝eq\r(a2－c2)越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝eq\r(a2－c2)越大，因此椭圆越接近于圆．常用结论：椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|．(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2．(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ．(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．►考点01利用椭圆的定义求轨迹方程▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【例1】（2025•五华区模拟）设点，，△的周长为36，则△的顶点的轨迹方程为A． B． C． D．【答案】【分析】由题意可知，△的顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去上下顶点），然后结合椭圆定义求出，的值，则椭圆方程可求．【解答】解：由题意可知，△的顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去上下顶点），又，，，则．△的顶点的轨迹方程为．故选：．【例2】（2024秋•绵阳期中）在△中，，，，则顶点的轨迹方程A． B． C． D．【答案】【分析】根据椭圆的定义可知顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不包括轴上的点），即可得方程．【解答】解：在△中，，，，可知顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不包括轴上的点），则，即，，可得，所以顶点的轨迹方程．故选：．【例3】（2024秋•余姚市期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为A． B． C． D．【答案】【分析】根据双曲线定义得到点的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案．【解答】解：由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且，故动点的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，故，，，双曲线的方程为．故选：．【例4】（2024秋•金台区月考）已知动点满足等式，则点的轨迹方程是A． B． C． D．【答案】【分析】根据动点满足等式，得到点的轨迹是以，为焦点的椭圆求解．【解答】解：动点满足等式，表示点到点，的距离之和为8，且，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，并且，，，椭圆的方程是．点的轨迹方程是．故选：．【例5】（2024秋•浦东新区期末）到两点、的距离之和为10的点的轨迹方程是（写成标准形式）．【分析】由椭圆定义可得，动点的轨迹为以、为焦点，且长轴为10的椭圆，且得到椭圆的长半轴和半焦距，求出椭圆的短半轴长，代入椭圆标准方程得答案．【解答】解：由题意可得动点的轨迹为以、为焦点，且长轴为10的椭圆，，，．则．动点的轨迹方程为．故答案为：．►考点02利用椭圆的定义解决焦点三角形问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【例6】（2025•广西模拟）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据椭圆的几何性质，余弦定理，向量中点公式，向量数量积的性质，即可求解．【解答】解：根据题意可得，，，设，，与点在上，，，又，解得，，，，．故选：．【例7】（2024秋•固始县期末）已知椭圆的两焦点为、，过点且存在斜率的直线与椭圆交于、两点，则的周长为A．16 B．8 C．10 D．20【答案】【分析】根据椭圆的定义可得：，，并且，进而得到答案．【解答】解：根据题意结合椭圆的定义可得：，并且，又因为，所以的周长为：．故选：．【例8】（2024秋•句容市期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】如图所示，，把代入椭圆方程可得：，解得，可得．在△中，，可得，进而得出结论．【解答】解：如图所示，，把代入椭圆方程可得：，解得，取，在△中，，，，化为：，，，故选：．【例9】（2024秋•四川期末）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则△的面积等于A．24 B．26 C． D．【答案】【分析】由题意的方程可得，的值，进而求出的值，再由椭圆的定义可知，由题意可得，的值，在△中，由勾股定理可得，进而求出三角形的面积．【解答】解：由椭圆的方程可得，，可得，可得，，由，而，所以，，可得，可得，所以△的面积等于，故选：．【例10】（2025•福州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，且，则A． B． C． D．【答案】【分析】利用椭圆的几何定义，及直角三角形勾股定理和余弦定理即可求解．【解答】解：由椭圆对称性质：可设：，根据，可得，再由椭圆的定义可知：，可得，又由，在△中，由勾股定理可得：，即，整理可得，解得，所以有，在直角△中，．故选：．►考点03椭圆的标准方程▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相等的离心率．(2)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【例11】（2025•仁寿县三模）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为A． B． C． D．【答案】【分析】由焦距求，利用离心率求，根据，，的关系求，即可得到椭圆的方程．【解答】解：已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，设椭圆的标准方程为，焦距为，由得，由得，故，所以该椭圆的方程为．故选：．【例12】（2025春•雁塔区月考）已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，，直线经过且与交于，两点，若垂直平分线段，且△的周长为，则的方程是A． B． C． D．【答案】【分析】根据椭圆的焦点三角形的周长，可得，即可根据椭圆性质可得，即可求解．【解答】解：椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，，直线经过且与交于，两点，若垂直平分线段，且△的周长为，如图：由题可知，设，，．连接，，，因为垂直平分线段，所以，，，所以△的周长为，可得，因为，所以，得，从而，故的方程是．故选：．【例13】（2024秋•西湖区期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是A． B． C． D．【答案】【分析】求椭圆的焦点坐标，确定所求椭圆的焦点位置，结合条件利用待定系数法求椭圆方程．【解答】解：椭圆的焦点坐标为，则所求椭圆的焦点在轴上，设其方程为，可得．又所求椭圆的长轴长为，即，得，，则，所求椭圆的方程是．故选：．【例14】（2024秋•惠山区期末）已知椭圆的两个焦点为，，，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是A． B． C． D．【分析】设，，根据，，，利用勾股定理，椭圆的定义，求出，可得，即可求出椭圆的方程．【解答】解：设，，，，，，，，，，，，椭圆的方程是．故选：．【例15】（2024秋•东莞市期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为A． B． C． D．【答案】【分析】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可．【解答】解：已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则，且焦点在轴上，则，则椭圆的标准方程为．故选：．►考点04椭圆的长轴、短轴、焦距▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【例16】（2025•信阳二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为A． B． C．或 D．或【答案】【分析】利用椭圆的离心率列出方程求解即可．【解答】解：椭圆的离心率为，可得，或，解得或，，或．故选：．【例17】（2025•城区模拟）椭圆的一个焦点是，则的值为A．2 B． C．4 D．【答案】【分析】根据题设写出椭圆标准形式，有即可求参数值．【解答】解：由椭圆的一个焦点是，椭圆标准方程为，且，则．故选：．【例18】（2025春•荣昌区月考）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为A．2 B． C． D．【答案】【分析】由题意根据对称性得点在上，代入的方程得，利用椭圆焦距的定义求解即可．【解答】解：由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，椭圆在轴上的两顶点间的距离为2，边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，可得正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得，故，所以的焦距为．故选：．【例19】（2025春•安徽期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为．【答案】．【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长．【解答】解：因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，所以，所以长轴长为．故答案为：．【例20】（2025•山西模拟）已知，分别是椭圆的左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，直线的斜率为，则椭圆的长轴长等于A．3 B． C．6 D．【答案】【分析】根据直径所对圆周角为和椭圆焦点弦的性质，用椭圆参数表示出直线的斜率，求出结果．【解答】解：因为在以为直径的圆上，所以，设，由直线的斜率为，得，可得，，设，则有，．由椭圆定义可得，即，即．代入，得，解得，故椭圆的长轴长为6．故选：．►考点05椭圆的离心率▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求椭圆离心率的方法方法一直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解方法二由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解方法三构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式，转化为e的关系式．【例21】（2025春•崇左期末）椭圆离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆方程确定椭圆参数，应用直接法求离心率．【解答】解：根据题意可知，椭圆方程为：，则，则离心率．故选：C．【例22】（2025•武进区模拟）在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】将点代入圆的方程求出，然后根据圆的切线的性质列式求出，结合求出，进而可得椭圆的离心率．【解答】解：设点，由题意得，且，根据，，可得，解得，所以，椭圆的离心率．故选：．【例23】（2025•喀什地区三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若△与△为原点）的面积之比为，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可．【解答】解：如图，由题意，，，所以，则，则，设，由，，则，，则，解得，，即，因为点在椭圆上，所以，化简得，所以．故选：．【例24】（2024秋•重庆期末）如图所示，四边形是椭圆的内接矩形，当且仅当的斜率为时，矩形的面积最大，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】不妨设，其中，利用二倍角的正弦公式可求得矩形面积的最大值及其对应的的值，可得出点的坐标，根据直线的斜率可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值．【解答】解：四边形是椭圆的内接矩形，不妨设，其中，则矩形的面积为，因为，则，故当时，即当时，取最大值，此时点，则，所以，，故该椭圆的离心率为．故选：．【例25】（2024秋•平和县期末）已知点，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案．【解答】解：由图可知：，由平分，则，所以，由，则解得，由是关于直线的对称点，则，，共线，，，，所以，在△中，，可得，解得，，在△中，由余弦定理，可得，代入可得：，化简可得：，所以其离心率．故选：．►考点06与椭圆几何性质有关的最值问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题的求解策略【例26】（2025春•安徽月考）已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为A． B．6 C． D．【答案】【分析】设的左焦点为，先得半焦距的值，从而由离心率得的值，根据椭圆的定义可得所求．【解答】解：已知椭圆的右焦点为，离心率为．设的左焦点为，半焦距为，由