专题45 直线与双曲线的位置关系（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题45直线与双曲线的位置关系

1．直线与双曲线的位置关系将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±eq\f(b,a)时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线无公共点．2．直线与双曲线的相交弦设直线y＝kx＋m交双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则|P1P2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(（x1－x2）2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1－y2,x1－x2)))\s\up12(2))))＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，同理，可得|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)．这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)．常用结论：1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a．►考点01直线与双曲线的位置关系▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式．(1)在a≠0的情况下考察方程的判别式①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．(2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．【例1】（2025春•北京月考）双曲线，点，则直线与双曲线的公共点的个数A．0个 B．恰有1个 C．恰有2个 D．恰有4个【答案】【分析】求出直线方程，根据直线与双曲线的一条渐近线平行可得结果．【解答】解：双曲线的渐近线方程为．，直线方程为，整理得，直线的斜率为，直线与双曲线的一条渐近线平行，直线与双曲线恰有1个公共点．故选：．【例2】（2024秋•广州期末）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】联立直线与双曲线方程，化为，分类讨论：当时，求的值；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△，即可．【解答】解：由方程组，消去得：，当，即时，方程组仅有一解，满足题意；当时，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则方程组仅有一解，即△，解得，综上，或，故是直线与双曲线只有一个公共点的充分不必要条件．故选：．【例3】（2025•五华区模拟）若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则可以为（或．（写出一个的值即可）【答案】（或．【分析】可知直线过定点，在轴上双曲线右焦点的右侧，则该直线与渐近线平行时，只与双曲线的右支有一个交点．【解答】解：易知直线过定点，由双曲线方程得：，，所以，，，故右焦点，爽曲线的渐近线方程为，如图所示，要使直线与双曲线的右支只有一个公共点，只需与渐近线平行即可，所以的斜率为，直线的方程可化为：，故，故或．故答案为：，（或．【例4】（2025•南阳模拟）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为或．【答案】或．【分析】联立直线方程和双曲线方程，然后根据方程解得个数讨论求解．【解答】解：将直线方程代入方程中，可得，整理得．当时，所以时，变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点．当时，是二次方程，如果双曲线恰好有一个交点，那么根的判别式△，化简．所以，那么．所以．故答案为：或．【例5】（2024秋•宜春期末）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为．【答案】．【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可．【解答】解：双曲线的方程为，渐近线方程为；由，消去整理得．当，即时，由△，无实数解；当，即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意．综上，取值为．故答案为：．►考点02弦长问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1．距离公式法当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．2．弦长公式法当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解．【例6】（2025春•涡阳县月考）设是双曲线右支上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，为线段的中点，若，则的值为A．2 B．4 C．6 D．8【答案】【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案．【解答】解：由双曲线，则，由于为的中点，为线段的中点，且，所以，因为，所以．故选：．【例7】（2025•广东模拟）从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，已知，则A． B． C． D．【答案】【分析】由双曲线的性质，结合余弦定理求解即可．【解答】解：从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，则双曲线的两条渐近线方程为，不妨设，，且在第一象限，则，，又，则，又，则，则，，又在四边形中可得：，在△中，结合余弦定理可得：，则．故选：．【例8】（2024秋•市北区期末）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有条．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】【分析】根据双曲线的几何性质，即可求解．【解答】解：根据题意可得，，，通径长为，又，，且，所求直线有2条．故选：．【例9】（2025•泰安模拟）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于，两点，则弦长8．【答案】8．【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可．【解答】解：由双曲线，得，，焦点为，倾斜角，因为直线斜率，所以直线方程为，联立消得，，由韦达定理知，代入弦长公式，得．故答案为：8．【例10】（2024秋•枣强县期末）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴．（1）求的方程；（2）过右焦点且斜率大于0的直线与双曲线的右支交于，两点，若，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由轴，可得，再由点在双曲线上和解方程可得；（2）设出直线方程，直曲联立，利用弦长公式求出，再求出直线方程即可．【解答】解：（1）因为点在上，所以①，又为的右焦点，轴，则，故②，联立①②可得，，故的方程为．（2）设直线的方程为，，，，，因为斜率大于0的直线与的右支交于两点，所以，即，则，联立消去整理得，△，则，，则，解得，则（负值舍去），故直线的方程为．►考点03中点弦问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼中点弦问题的解决方法方法一将直线方程与双曲线的方程联立，消元后得到一元二次方程，再用判别式和中点坐标公式求解方法二用点差法和中点坐标公式求解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)－\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减可得eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(b2,a2)，即kAB·eq\f(y0,x0)＝eq\f(b2,a2)，kAB＝eq\f(b2x0,a2y0)【例11】（2025•包头二模）直线与双曲线交于，两点，线段的中点为，则直线的方程为A． B． C． D．【答案】【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可．【解答】解：设，，，，因为线段的中点为，所以，，所以，两式相减可得：，即，所以，即，所以直线的斜率为1，所以直线的方程为：，化简为：，经检验符合题意．故选：．【例12】（2025春•成都月考）已知曲线，直线与曲线交于，两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为A． B． C． D．【答案】【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系．【解答】解：曲线，直线与曲线交于，两点，设，，，，可得：用（1）式减去（2）式可得：，，，点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得：，即，．代入，可得：，化简得：，可得：，而就是直线的斜率，直线的斜率为．故选：．【例13】（2024秋•渭滨区期末）已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．【分析】可设，，，，代入双曲线方程，两式相减，结合平方差公式和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得，的关系，由离心率公式可得所求值．【解答】解：设，，，，点是弦的中点，根据中点坐标公式可得：，，两点在直线根据两点斜率公式可得：，，两点在双曲线上，，，即．解得：，．故选：．【例14】（2025•平果市开学）已知双曲线过点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】【分析】利用“点差法”，即可求解．【解答】解：设，，，，则根据题意可得：，，且与，两式相减得：，所以，所以，所以，所以直线的斜率为6．故选：．【例15】（2024秋•齐齐哈尔期末）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为．【分析】设出，两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线的斜率，即可求解直线方程．【解答】解：设，，，，则由弦的中点，可得，，又，，两式相减，得，即，所以直线的斜率为，故直线的方程为，化简得．故答案为：．►考点04直线与双曲线的综合问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果是判断直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题．【例16】（2025•泉州模拟）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为．若，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在△中利用勾股定理得到，再在△中利用勾股定理得到、的关系，即可得解．【解答】解：设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示，根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，又由于，因此为矩形，设，由于，那么，根据双曲线的定义可得：，，又由于三角形为直角三角形，因此，所以，解得，因此，，又由于三角形为直角三角形，，因此，即，因此，即．故选：．【例17】（2025•北辰区三模）已知双曲线的右焦点、左顶点分别为，，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点，．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为A．2 B． C． D．【答案】【分析】求出直线的方程，与渐近线方程联立，求出，的坐标，利用△为等边三角形即，得到，的关系，然后求解离心率．【解答】解：因为双曲线的右焦点、左顶点分别为，所以，，所以直线的方程为，由，可得，由，可得，因为△为等边三角形，所以，即，整理可得，所以双曲线的离心率为．故选：．【例18】（2025•滨海新区三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则△的面积为A．20 B．12 C．24 D．10【答案】【分析】根据双曲线的几何性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形面积公式，即可求解．【解答】解：因为双曲线，所以，，，因为平分，所以，又，且过点，所以，且为的中点，所以，又，设，则，所以，所以，所以，，又，所以，所以，所以△的面积为．故选：．【例19】（2025春•崇左期末）已知双曲线的焦距为，，且点在上．（1）求的方程；（2）若直线与的右支交于点，，求的取值范围；（3）若，是上不同的两点（异于点，的平分线垂直于为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值．【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解．【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组即可得到的方程；（2）由点，在上，可得，又点，在直线上，可得，化简再根据即可求得范围；（3）设直线的方程，，，，，联立