专题53 二项式定理（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题53二项式定理

1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项Ceq\o\al(\s\up7(\f(n,2)),n)取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Ceq\o\al(\s\up7(\f(n-1,2)),n)与Ceq\o\al(\s\up7(\f(n-1,2)),n)相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n．(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1．常见结论：(a＋b)n的展开式形式上的特点：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.►考点01求二项展开式中的特定项(或系数)▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求二项展开式中特定项的步骤【例1】（2025春•自贡期末）二项式展开式中的常数项为A．960 B．160 C． D．【答案】【分析】根据展开式的特点直接计算即可．【解答】解：二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，6，令，解得，常数项为．故选：．【例2】（2025春•大兴区期末）在的展开式中，的系数为A． B．20 C． D．10【答案】【分析】利用二项式定理求解．【解答】解：的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，令，解得，则的系数为．故选：．【例3】（2025春•云浮期末）在的展开式中，含的项的系数为A．84 B．42 C．21 D．7【答案】【分析】先根据二项式定理写出通项；再令即可求解．【解答】解：由二项式定理可得：的展开式的通项为：，则含的项的系数为．故选：．【例4】（2025春•玉林期末）展开式的常数项为A．20 B．90 C．40 D．120【答案】【分析】由二项展开式的通项求得常数项对应的值，再将的值代入通项求系数即可．【解答】解：因为展开式的通项为，当时，，所以展开式的常数项为．故选：．【例5】（2025春•四川期末）在的展开式中，的系数为A．30 B．15 C． D．【答案】【分析】根据二项式展开式的通项公式求解．【解答】解：二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，6，令，则的系数为．故选：．►考点02已知两个因式之积求其特定项(或系数)▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式的特定项(或系数)问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m.(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合分析解决问题．【例6】（2025春•西青区期末）的展开式中的系数是A．0 B．2 C．4 D．10【答案】【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解．【解答】解：由的展开式中的项是：．故选：．【例7】（2025春•广州期末）（x﹣y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．0 B．10 C．﹣20 D．20【答案】A【分析】先求得（x+y）5展开式的通项公式，分别求x2y3和x3y2的项，结合题意即可求得答案．【解答】解：由题意得（x+y）5展开式的通项公式为，令r＝2，，令r＝3，，所以x3y3的系数为10×1+10×（﹣1）＝0，即（x﹣y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为0．故选：A．【例8】（2025春•临沂期末）的展开式中的常数项是A．12 B．8 C． D．【答案】【分析】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值．【解答】解：二项式的通项公式为，，1，2，3，4，5，当时，．当时，，故的展开式中常数项的值为．故选：．【例9】（2025春•崇左期末）展开式中的系数是A．15 B． C．30 D．【答案】【分析】写出展开式通项，结合乘积形式求对应项，进而确定的系数．【解答】解：对于，展开式通项为，，1，，6，令，则；令，则，所以展开式中的系数是．故选：．【例10】（2025春•运城期末）在的展开式中，含xy4项的系数为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【答案】C【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解．【解答】解：因为，（x+y）5展开式的通项公式，k＝0，1，2，3，4，5，所以的展开式中含xy4的项的系数为＝0．故选：C．►考点03已知三项式求其特定项(或系数)▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求三项展开式中特定项(系数)的方法【例11】（2025春•浙江期中）的展开式中的系数为A．60 B．20 C． D．【答案】【分析】利用组合数的性质列式可求得答案．【解答】解：的展开式中的系数为：．故选：．【例12】（2025春•兰山区期末）展开式中常数项为A． B． C．1 D．481【答案】【分析】根据二项式定理直接求解即可．【解答】解：根据二项式定理，表示6个相乘，所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：①6个中全部选项展开，常数项为；②6个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开，常数项为；③6个中有2个选择项，4个选择项展开，常数项为；所以，其常数项为：．故选：．【例13】（2025春•鲤城区期中）的展开式中，的系数为A．24 B． C．12 D．【答案】【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解．【解答】解：的展开式中，项是4个多项式中取2个用，一个用，余下一个用，该项为．的系数为．故选：．【例14】（2025春•河南月考）的展开式中含项的系数为A． B． C．280 D．420【答案】【分析】结合二项式展开式的通项公式求解即可．【解答】解：由二项式定理可得：的展开式中含项的系数为．故选：．【例15】（2025•江西模拟）在的展开式中，的系数为A．3 B．6 C．60 D．30【答案】【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：表示6个因式的乘积，在6个因式中，1个因式选，2个因式选，3个因式选，故的系数为．故选：．►考点04二项式系数和与各项的系数和问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【例16】（2025春•西青区期末）若展开式的二项式系数之和为64，6；展开式中项的系数为．【答案】6；15．【分析】第一空，由二项式系数之和为64可得；第二空，由第一空分析可得展开式通项，据此可得答案．【解答】解：第一空，由题意可得二项式系数和为，解得；第二空，由第一空可得展开式通项为，，1，，6，令，则，则展开式中项的系数为．故答案为：6；15．【例17】（2025春•福州期末）已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为16，则A．40 B．41 C． D．【答案】【分析】利用二项式系数的性质可求得，进而可求得答案．【解答】解：的展开式中所有项的二项式系数和为16，，解得；．故选：．【例18】（2025春•涪城区期中）的展开式的二项式系数和为A．1 B． C．32 D．【答案】【分析】由二项式系数和公式直接计算即可求解．【解答】解：二项式的展开式的二项式系数和为．故选：．【例19】（2025•南通模拟）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为A． B． C． D．【答案】【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解即可．【解答】解：的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则，即，则二项展开式中二项式系数最大的项为．故选：．【例20】（2025春•贵州期中）若（2+x）11＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯+a11（x+1）11，则a0＝1，a1+a2+⋯+a11＝2047．（结果用数字表达）【答案】1；2047．【分析】分别令x＝﹣1，x＝0联立即可求解．【解答】解：令x＝﹣1，则a0＝1，令x＝0，则＝2048，则a1+a2+...+a11＝2048﹣1＝2047．►考点05二项展开式中的系数最值问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1．二项式系数最大项的确定方法当n为偶数时，展开式中第eq\f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为Ceq\o\al(\s\up7(\f(n,2)),n)；当n为奇数时，展开式中第eq\f(n＋1,2)项和第eq\f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为Ceq\o\al(\s\up7(\f(n-1,2)),n)或Ceq\o\al(\s\up7(\f(n+1,2)),n).2．二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))注意解出k后要检验首末两项．【例21】（2025春•福清市期末）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为A．15 B．10 C．9 D．8【答案】【分析】展开式共有9项，所以．【解答】解：的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故第5项为中间项，二项式的展开式共有9项，．故选：．【例22】（2025春•临沂期中）二项式展开式中，系数最大值为A．280 B．448 C．560 D．672【答案】【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数．【解答】解：展开式通项公式为且为整数，要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，则第1项的系数为1，第3项的系数为84，第5项的系数为560，第7项的系数为448，故二项式展开式中，系数最大值为560．故选：．【例23】（2025春•渝中区期中）的展开式中，二项式系数最大的项是第项．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】【分析】利用二项式系数的性质直接计算即可．【解答】解：由二项式定理知其展开式有21项，根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项．故选：．【例24】（2025春•盐田区月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第项．A．3 B．4 C．2或3 D．3或4【答案】【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解．【解答】解：由于展开式仅有第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则，的展开式的通项公式，1，2，3，4，5，6，7，，设展开式中系数最大项是，则，即，解得，而，因此或，，，所以展开式中系数最大的项是第3或4项．故选：．【例25】（2025•南充模拟）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则A．9 B．10 C．11 D．12【答案】【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，得到展开式共有11项，可求得的值．【解答】解：因为展开式中，二项式系数最大的项只有第6项即最大，根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，所以，解得．故选：．►考点06二项式定理的综合应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.【例26】（2025春•滨州期末）被8除的余数为A．2 B．4 C．6 D．7【答案】【分析】直接利用二项式的展开式以及整除问题的应用求出结果．【解答】解：，故被8除余数为7，所以被8除的余数为6．故选：．【例27】（2025春•濮阳期末）设，则中最大的是A． B． C． D．【答案】【分析】求出展开式的通项公式，然后设最大，根据展开式建立不等式组求出的值，再分别判断系数