专题55 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题55事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

1．事件的相互独立性事件A与事件B相互独立对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立性质若事件A与事件B相互独立，则A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)2.条件概率条件概率的定义设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率条件概率的性质(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)设eq\o(B,\s\up6(－))与B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)，我们称上面的公式为全概率公式．常见结论：1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．2．计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用样本点法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数．3．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．4．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．►考点01事件独立性的判定▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率．(2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．(3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也相互独立．【例1】（2025春•望城区期末）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件【答案】【分析】对于，由古典概型概率计算公式求解即可；对于，由互斥、对立的概念判断；对于，由独立事件的定义判断即可．【解答】解：样本空间，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，，，22，23，24，41，42，43，，，23，32，，对于，，故选项错误；对于，，，故选项，选项错误；对于，，故选项正确．故选：．【例2】（2025春•遵义期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥【答案】BD【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项．【解答】解：根据题意，现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，则Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个基本事件，依次分析选项：对于A，易得，事件丙＝{（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）}，所以，甲丙＝{（3，5）}，则，所以P（甲丙）≠P（甲）P（丙），甲与丙不相互独立，故A错误；对于B，事件丁＝{（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3）}，，甲丁＝{（3，6）}，，所以P（甲丁）＝P（甲）P（丁），甲与丙相互独立，故B正确；对于C，，，所以P（乙丙）≠P（乙）P（丙），乙与丙不相互独立，故C错误；对于D，事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确．故选：BD．【例3】（2025春•临沧期末）连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立【答案】【分析】借助相互独立事件的定义逐项验证即可得．【解答】解：根据题意可知，，，，，对，，（A）（C），故与不相互独立，故错误；对，，有（A）（D），故与相互独立，故正确；对，故与不相互独立，故错误；对，，有（B）（D），故与相互独立，故正确．故选：．【例4】（2025春•四川期末）某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是A．与互斥 B．与互为对立事件 C．与互为对立事件 D．与相互独立【答案】【分析】分别求出样本空间和事件、、、即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断．【解答】解：由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为，2，3，4，5，6，7，，事件表示，3，5，，事件表示，4，6，，事件表示，2，3，4，，事件表示，，且，所以与互斥；与互为对立事件，故选项，正确，且，2，3，4，5，7，，所以事件与事件不为对立事件，故选项错误；，，，故事件和事件为独立事件，故选项正确．故选：．【例5】（2025春•庐江县期末）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是A．与 B．与 C．与 D．与【答案】【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得．【解答】解：由题意得：事件：“”的情况有：，，，，，，，，，共10种，所以；事件：“”的情况有：，，，，，共6种，所以．事件：“”的情况有：，，，，，，，，，，，共12种，所以．事件：“为奇数”的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，所以；对于，因，则与不独立，故错误；对于，因，则与不独立，故错误；对于，因事件与不能同时发生，则（C）（D），故错误；对于，，则与相互独立，故正确．故选：．►考点02相互独立事件的概率▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【例6】（2025春•莆田期末）若P（A∪B）＝0.9，P（A）＝0.7，P（B）＝0.5，则＝（）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】B【分析】首先求得P（AB），然后结合即可求解．【解答】解：因为P（AB）＝P（A）+P（B）﹣P（A∪B）＝0.7+0.5﹣0.9＝0.3，所以．故选：B．【例7】（2025春•许昌期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮．已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据甲投2次或乙投2次或丙投2次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式求得正确答案．【解答】解：由题意，第4次是丙投篮的情况有：①甲投2次，乙投1次，则第4次是丙投篮，概率为，②甲投1次，乙投2次，则第4次是丙投篮，概率为，③甲投1次，乙投1次，丙连投2次，概率为，综上，第4次是丙投篮的概率为．故选：．【例8】（2025春•东莞市期末）甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对题目的概率为，乙每轮答对题目的概率为．在每轮活动中，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据独立事件的概率公式计算．【解答】解：甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，甲每轮答对题目的概率为，乙每轮答对题目的概率为，若在两轮活动中答对3道题目，则总共只能错一题，则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为：．故选：．【例9】（2025春•山西期末）甲、乙两人独立地解锁同一部手机，若各人能解锁的概率分别为，则此手机被成功解锁的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率．【解答】解：甲、乙两人独立地解锁同一部手机，各人能解锁的概率分别为，记事件A：此手机被成功解锁，则事件此手机没被解锁，甲、乙两人独立地解锁同一部手机，甲成功解锁的事件记为M，乙成功解锁的事件为N，，∴．故选：D．【例10】（2025春•肇庆期末）“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可．【解答】解：根据题意，第4次仍然由甲投掷，有4种情况：①，前三次均为甲中，概率；②，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率；③，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率；④，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率．所以第4次仍然由甲投掷的概率．故选：．►考点03条件概率▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)样本点法：P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．【例11】（2025春•达州期末）已知事件A发生的概率，事件AB发生的概率，则P（B|A）＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件概率公式即可求解．【解答】解：由题意，．故选：A．【例12】（2025春•信阳期末）某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率A． B． C． D．【答案】【分析】由条件概率公式求解即可．【解答】解：设事件表示第一次抽到选择题，事件表示第二次抽到填空题，则（A），所以第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率为．故选：．【例13】（2025春•湘西州期末）在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同．已知他第一次投中的概率为，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】设“第二次投中”为事件，“第三次投中”为事件，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解．【解答】解：设“第二次投中”为事件，“第三次投中”为事件，则，，所以，即在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为．故选：．【例14】（2025•河北模拟）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，设“三场比赛中恰有两场赢对方”，“第一场赢对方”，求出（A）和，由条件概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设“三场比赛中恰有两场赢对方”，“第一场赢对方”，则（A），，故．故选：．【例15】（2025春•大通县期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．记事件：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件：“两枚骰子的点数之和是6”，则A． B． C． D．【答案】【分析】利用条件概率公式求解即可．【解答】解：抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色，共有种结果，事件包含的基本事件有个，所以（A），事件包含的基本事件有，，2个，所以，所以．故选：．►考点04全概率公式的应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)．(3)代入全概率公式计算．【例16】（2025春•百色期末）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为，若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】设“第1次球投进”为事件，“第2次球投进”为事件，利用全概率公式即可求解．【解答】解：设“第1次球投进”为事件，“第2次球投进”为事件，则．故选：．【例17】（2025春•襄阳期末）某学校有，两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为，如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为，若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去餐厅用餐的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去，餐厅的概率，再求第3天去餐厅用餐的概率．【解答】解：设表示事件表示“第天去餐厅”，表示事件表示“第天去餐厅”，由题意可知：，，所以，所以，故，，则．故选：．【例18】（2025春•辽宁期末）某工业园区安装了一套Ⅰ水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为A．0.095 B．0.45 C．0.14 D．0