现代控制理论 课件 第九章 线性系统的状态空间分析与综合

第九章线性系统的状态空间分析与综合主讲：伍锡如第九章目录CONTENTS129.1最优控制概念9.2线性二次型最优控制问题9.1最优控制概念9.1.1最优控制理论9.1.2最优控制问题的数学模型9.1.3最优控制问题的性能指标9.1.4求解最优控制问题的各类方法随着空间技术的发展，控制系统日趋复杂，精度要求越来越高，建立在传递函数基础上的经典控制理论就日益暴露出了它的局限性。由于工程上的需要，以状态空间概念为基础的最优控制理论渐渐地发展起来。最优控制理论所要解决的问题是;按照控制对象的动态特性，选择容许的控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能指标达到最优。最优控制就字面意思而言就是进行控制某个特定的量使其达到系统当中的最优解，具体指的是通过某种研究方案使得我们设置的控制系统即设定好的数学模型在一定限制情况下使得其中一种性能指标达到极大值（极小值）的方法。

最优控制是一门工程背景很强的学科分支，其研究的问题都是从大量实际问题中提炼出来的，它尤其与航空﹑航天、航海的制导、导航和控制技术密不可分。最优控制概念9.1最优控制概念9.1.1最优控制理论延时符

解：设飞船质量为M(t)，它的高度和垂直速度分别为H(t)和V(t)，月球的重力加速度可视为常数g，飞船自身质量及所带燃料分别是m和S(t)。若飞船在t=0时刻开始进入着陆过程，其运动方程为上式中，k是一常系数。9.1.1最优控制理论9.1.1最优控制理论延时符要求控制飞船从初始状态出发，在某一终端时刻成功实现软着落，即控制过程中推力不能超过发动机所能提供的最大推力，即满足上述约束条件，使飞船实现软着陆的推力程序F(t)不止一种，其中消耗燃料最少的才是问题所要求的最好推力程序，即问题可归纳为求性能指标最大的数学问题。延时符9.1.2最优控制问题的数学模型式中，x(t)代表的是n维状态向量，u(t)代表的是r维控制向量，f(·)是关于x(t)，u(t)

和t的n维函数向量，t代表的是实数自变量。最优控制任务是在满足运动方程和式

的推力约束条件下，寻求发动机推力的最优变化律

，使飞船由已知初态转移到要求的终端状态，并使性能指标

从而使飞船软着陆过程中燃料消耗量最小。通过上述例题分析可知，最优控制问题的数学描述的关键之处在于分析其相应受控系统的数学模型，即解出系统的微分方程。该系统的数学模型反应了动态系统在运动过程中所因遵循的物理和化学规律即自然规律。在集中参数的情况下，动态系统的运动规律可以用一组一阶常微分方程即状态方程来描述。延时符9.1.2最优控制问题的数学模型

动态系统的运动过程，是系统从状态空间的一个状态到另一个状态的转移，其运动轨迹在状态空间中形成曲线x(t)。为了确定要求的曲线

x(t)，需要确定初始状态和终端状态，这是求解状态方程式(9-2)必需的边界条件。9.1.2最优控制问题的数学模型延时符在最优控制问题中，初始时刻

和初始状态

通常是已知的，但是终端时刻

和终端状态

可以固定，也可以不固定。一般来说，对终端的要求可以用如下的终端等式或不等式约束条件来表示，即它们概括了对终端的一般要求。实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此种满足终端约束的状态集合称为目标集，即为M，并可表示为数学模型构建所需的边界条件与目标集是求解最优控制问题的关键部分，同时除了这些，还应做好容许控制，控制向量的各个分量往往是具有不同物理属性的控制量。9.1.2最优控制问题的数学模型延时符在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件限制只能取值于一定范围，如上述例题9.1中的。这种限制范围，通常可用如下不等式的约束条件来表示或式(9-4)和式(9-5)规定了控制空间中的一个闭集。

由控制约束条件所规定的点集称为控制域，并记为

。凡在闭区间

有定义且在控制域

内取值的每一个控制函数

均成为容许控制，并记为。通常假定容许控制

是一有界连续函数或者是分段连续函数。需要指出，控制域为开集或闭集，其处理方法有很大差别。后者的处理较难，结果也很复杂。9.1.3最优控制问题的性能指标延时符在状态空间中，要使状态向量由初始状态转移到终端状态，可以用不同的控制函数来实现。为了衡量控制系统在每一个控制函数作用下工作的好坏，就需要用一个性能指标来判断。性能指标的内容取决于最优控制问题所要完成的任务，因此不同的控制问题就有各不相同的性能指标。为最优控制问题确定恰当的性能指标，不仅需要理论知识，而且需要实践经验。

从给定初态到目标集

M

的转移可通过不同的控制律来实现，为了在各种可行的控制律中找出一种效果最好的控制，这就需要首先建立一种评价控制效果好坏或控制品质优劣的性能指标函数。性能指标的内容与形式，取决于最优控制问题所完成的任务，不同的最优控制问题，有不同的性能指标，即使是同一问题其性能指标也可能不同。通常情况下，对连续系统时间函数的性能指标可以归纳为以下三种类型：综合型或波尔扎（Bolza）型性能指标；积分型或拉格朗日（Lagrange）型性能指标；终端型或麦耶尔（Mager）型性能指标。

9.1.3最优控制问题的性能指标延时符1.综合型或波尔扎(Bolza)型性能指标2.积分型或拉格朗日(Lagrange)型性能指标式中：L(∙)--标量函数，它是向量x(t)

和u(t)

的函数，称为动态性能指标；

F--标量函数，与终端时间

及终端状态

有关，称为终端性能指标；

J(∙)--标量，对每个控制函数都有一个对应值；

u(∙)--控制函数整体，而

u(t)表示t

时刻的控制向量。式(9-6)类型的性能指标称为综合型或波尔扎型问题，它可以用来描述具有终端约束下的最小积分控制，或在积分约束下的终端最小时间控制。这时的性能指标称为积分型或拉格朗日问题，它更强调系统的过程要求。在自动控制中，要求调节过程的某种积分评价为最小(或最大)就属于这一类问题。9.1.3最优控制问题的性能指标延时符3.终端型或麦耶尔(Mager)型性能指标这时的性能指标称为终端型或麦耶尔型问题，它要求找出使终端的某函数为最小(或最大)值的u(t)，终端处某些变量的最终值不是预先规定的。以上讨论表明，所有最优控制可以用上述三种类型的性能指标之一来表示，而综合性问题是更普遍的情况。通过一些简单的数学处理，即引入适合的辅助变量，它们三者可以互相转换。

综上所述，性能指标与系统所受的控制作用和系统的状态有关，但是它不仅取决于某个固定时刻的控制变量和状态变量，而且与状态转移过程中的控制向量u(t)和状态曲线x(t)有关，因此性能指标是一个泛函。9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符1.变分法在动态最优控制中，目标函数是一个泛函，因此求解动态最优化问题可以归结为求泛函极值的问题。前面7.1章节将连续时间系统以Δt为采样周期进行离散化，按静态最优控制问题求解，然后再令Δt→0，再导出连续时间系统的解。为了进一步处理各种最优控制问题，还有必要应用变分法。因为在离散的有限时间的场合，变量的数目总归是有限的，所以适合在有限维空间中讨论问题。但在Δt→0的连续时间情况下，变量成了无限多个，亦即变量成了t的函数，因此必须在无限维空间中来讨论。从求有限个变量的函数极值变为求无限个变量的函数极值，后者正是变分法所要解决的问题。

求泛函的极大值和极小值问题称为变分问题，求泛函极值的方法称为变分法。变分法是研究分析泛函极值的一种方法，它的任务是求泛函的极大值和极小值。9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符1）泛函设对自变量t，存在一类函数x(t)。如果对于每个函数x(t)，有一个J值与之对应，则变量称为依赖于函数的泛函数，简称泛函，记作如同函数规定了数a对应于数t一样，泛函规定了数J与函数x(t)

的对应关系。需要指出，J[x(t)]中的应理解为某一特定函数的整体，而不是对应于t的函数值x(t)。函数x(t)称泛函J的宗量(自变量)，为强调泛函的宗量x(t)是函数的整体，有时将泛函表示为由上述泛函定义可见，泛函为标量，其值由函数的选取而定。若连续泛函J[x(t)]的增量可以表示为其中：

是泛函增量的线性主部，它是

的线性连续泛函。

是关于

的高阶无穷小。把第一项称为泛函的变分，并记为由于泛函的变分是泛函增量的线性主部，所以泛函的变分也可以称为泛函的微分。当泛函具有微分时，即其增量可用式(9-8)表达时，则称泛函是可微的。9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符2）泛函的变分（1）泛函变分的定义9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符（2）泛函变分的求法连续泛函J[x(t)]的变分等于泛函对a的导数在a=0时的值，即证明

因为可微泛函的增量为由于是

的线性连续函数，因此有又由于

是

的高阶无穷小量，所以有9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符3）泛的极值（1）泛函极值的定义于是由此可见，利用函数的微分法则，可以方便地计算泛函的变分。

如果泛函在任何一条与接近的曲线上的值不小于，即则称泛函

在曲线

上达到极小值。反之，若则称泛函在曲线上达到极大值。9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符（2）泛函极值的必要条件9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符例：解：9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符2.极大值原理极大值原理又称为极小值原理，这是由在解最优控制问题中哈密顿函数时求极大值或是极小值而异。所谓极大值原理或极小值原理是求当控制向量受到约束时的最优控制原则，这是经典变分法求泛函极值的扩充，因为用经典变分法不能处理这类问题，所以这种方法又称为现代变分法。极大值原理是苏联学者庞特里亚金在1956年提出的。它从变分法引伸而来，与变分法极为相似。因为极大与极小只相差一个符号，若把性能指标的符号反过来，极大值原理就成为极小值原理。极小值原理是解决最优控制，特别是求解容许控制问题的得力工具。

在实际的控制系统中，有很多问题要求控制变量或状态变量在某一范围内，不允许它们超出规定的范围，这就对控制变量或状态变量构成不等式约束。9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符

例如，α≤u(t)≤β。在这种情况下，连续系统最优控制问题可描述为设n维系统状态方程(9-22)式中，x(t)代表的是n维状态向量，u(t)代表的是r维控制向量，f(⋅)是关于x(t)、u(t)和t的n维函数向量，t代表的是实数自变量。始端时间和始端状态(9-23)终端时间和终端状态满足约束方程 (9-24)控制向量取值

(9-25)满足式(9−22)和式(9−24)的状态曲线x(t)称为容许曲线。满足式(9−25)，并使x(t)成为容许曲线的分段连续函数u(t)称为容许控制，所有的容许控制函数构成容许控制集。延时符9.1.4求解最优控制问题的各类方法极大值原理讨论的问题就是在容许控制集合中找一个容许控制u(t)，让它与其对应的容许曲线x(t)一起使下列性能指标泛函J为极小值，即

(9-26)延时符9.1.4求解最优控制问题的各类方法实现最优控制的必要条件是：（1）设

是最优控制，

为由此产生的最优曲线，则存在一与

和

对应的最优伴随向量，使和满足正则方程：其中：哈密顿函数为(2)在最优曲线

上与最优控制

对应的哈密顿函数为极小值的条件：延时符9.1.4求解最优控制问题的各类方法(3)始端边界条件与终端横截条件：(4)终端时刻

可变时，用来确定

的终端横截条件（

可变时使用）延时符9.1.4求解最优控制问题的各类方法极大值原理表明，使性能指标泛函J为极小值的控制必定使哈密顿函数H为极小值。即最优控制使哈密顿函数H取极小值，所谓极小值原理一词正源于此。这一原理首先是由前苏联学者庞特里雅金等人提出，随后加以严格证明的。在证明过程中，和H的符号恰好与这里的定义相反，即。因此，从表面上看，极大值原理和经典的变分法对解同类问题只在条件(2)上有差别，前者为即对一切，u(t)取遍

中的所有点，

使H为绝对极小值。而后者的相应条件为

，即哈密顿函数H为

取驻值。它只能给出H函数的局部极值点，对于边界上的极值点无能为力，它仅是前者的一种特例。延时符也就是说在极大值原理中，容许控制条件放宽了。另外，极大值原理不要求哈密顿函数对控制向量的可微性，因而扩大了应用范围。由此可见，极大值原理比经典变分法更具实用价值。但是极大值原理所给出的只是局部极优的条件，而不是整体最优的条件。因此，可以这样说，凡不符合最小值原理的控制，必不是最优控制。凡符合最小值原理的控制，也不一定就是最优控制。因为由最小值原理求得的每个控制，还只是最优控制的候选函数。至于哪个是最优控制，还得依据问题的性质加以判定，或进一步从数学上予以证明。9.1.4求解最优控制问题的各类方法延时符3.Bang-Bang控制9.1.4求解最优控制问题的各类方法从原理上说，应用极小值原理求解最优控制是方便的，但要具体解出却极难。现在讨论一种特殊情况，在这种特殊情况下，控制矢量的各个分量都取控制域的边界值，而且不断地从一个边界值切换到另一个边界值，从而构成一种最强的控制作用，称为开关控制。如果拟声，又称Bang-Bang控制。时间最优是Bang-Bang控制的一个典型例子。由于其性能指标特别简单（或是，；，

，

其中自由。

二者等效），因而研究得最早，所得结果也最为成熟。延时符9.1.4求解最优控制问题的各类方法设能控的线性定常系统状态方程为：其中

待求。性能指标为：控制约束为：寻求最优控制

，使系统以最短时间从给定初态

转移到原点。在这里有延时符9.1.4求解最优控制问题的各类方法故哈密尔顿函数为：为使H为全局最小，可知最优控制为：或其中是矢量的第i行。SGN是符号函数，定义如下：当α为矢量时，则用SGN表示。

9.1.4求解最优控制问题的各类方法由正则方程组：解得：式中，

为协态矢量的初值。显然

是一个非零矢量。否则由

将导致

，进而由式(9-46)引出1=0的错误结果。将式(9-52)代入式(9-47)或(9-48)，得：由此可见，时间最优控制是开关控制（Bang-Bang控制），它要求控制变量只取边界（最大）值，但符号与

相反。9.1.4求解最优控制问题的各类方法接下来将讨论时间最优控制的唯一性和开关次数问题。线性定常系统

，若存在时间最优控制

，则该控制

，j=1，2，…，r是唯一的。证明

用反证法。设存在两个控制及

，但都能以相同的最小时间

使系统完成从初值

到零状态的转移，因此有：令，显然在

作用下，系统在

时刻也将初值

转移到原点，即9.1.4求解最优控制问题的各类方法所以w也是最小时间控制，根据前面的结论，

和

都是Bang-Bang控制，

，所以在

和

不相等的时刻上，有

，即：

不是Bang-Bang控制，与

是最优控制矛盾，因此有：这表明控制

是唯一的。若线性定常系统

，存在时间最优控制

满足

，j=1,2,…r，且矩阵A的特征值均为实数，则每一个

都是Bang-Bang控制，且在两个边界值之间至多切换n-1次。注意，若A的特征值出现复数，情况就完全不同了。因为此时无法确定其切换次的上界，除非预先指定了时间间隔。顺便指出，若线性定常系统矩阶A的特征值均具非正的实部，控制u(t)为容许控制，则其时间最优控制必定存在。9.2线性二次型最优控制问题9.2.1二次型性能泛函9.2.2状态调节器9.2.3线性定常系统的状态调节器问题9.2.4输出调节器问题9.2.5跟踪问题对于线性系统，若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标函数，性能泛函是状态变量（或/和）控制变量的二次型函数的积分，则这种动态系统最优问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型问题。

因为由于线性二次型问题的最优解具有统一的解析表达式，且可导致一个简单的线性状态反馈控制律，构成闭环最优反馈控制，这种最优控制问题的解