现代控制理论 课件 第六章 状态反馈和状态观测器

第六章状态反馈和状态观测器主讲：伍锡如第六章目录CONTENTS1236.1.状态反馈与极点配置6.2.状态观测器设计6.3.带有观测器的状态反馈系统的设计6.1状态反馈与极点配置6.1.16.1.3状态反馈的概念状态反馈闭环系统可控性与可观测性6.1.2状态反馈极点配置方法6.1.4状态反馈与系统的镇定为维参考输入向为时，称之为线性直接状态反馈，简称为状态反馈，其中6.1.1

状态反馈的概念设有n维线性定常系统当将系统的控制量u取为状态变量的线性函数维实反馈增益矩阵。可得状态反馈系统动态方程

在系统的综合设计中，两种常用的反馈形式是线性直接状态反馈和线性非动态输出反馈，简称为状态反馈和输出反馈。量，由式可以看出，引入状态反馈后系统的输出方程没有变化。其传递函数矩阵为因此可用来表示引入状态反馈后的闭环系统。加入状态反馈后系统结构图如图6-1所示。6.1.1

状态反馈的概念

系统的状态常常不能全部测量到，因而状态反馈法的应用受到了限制。在此情况下，人们常常采用输出反馈法。输出反馈的目的首先是使系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系统性能。

输出反馈有两种形式：一种是将输出量反馈至状态微分，另一种是将输出量反馈至参考输入。输出反馈系统的动态方程为其传递函数矩阵为6.1.1

状态反馈的概念

输出量反馈至状态微分的系统结构图6.1.1

状态反馈的概念

当将系统的控制量

取为输出的线性函数时，称之为线性非动态输出反馈，常简称为输出反馈,其中

将式代入式可得输出反馈系统动态方程其传递函数矩阵为6.1.1

状态反馈的概念维参考输入向量，为这是一种最常用的输出反馈为维实反馈增益矩阵。6.1.2

状态反馈极点配置方法1、极点可配置条件

这里给出的极点可配置条件既适合于单输入-单输出系统，也适合于多输入-多输出系统。

1）利用状态反馈的极点可配置条件

利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。证明下面就单输入-多输出系统来证明本定理。这时被控系统中的B为一列向量，记为b。先证充分性：若系统可控，则通过非奇异线性变换可变换为可控标准型式在单输入情况下，引入状态反馈其中则引入状态反馈后闭环系统的状态阵为6.1.2

状态反馈极点配置方法

对于上式这种特殊形式的矩阵，容易写出其闭环特征方程

显然，该n阶特征方程中的n个系数，可通过来独立设置，也就是说的特征值可以任意选择，即系统的极点可以任意配置。必要性：如果系统不可控，就说明系统的有些状态不受的控制，则引入状态反馈时就不可能通过控制来影响不可控的极点。证毕。6.1.2

状态反馈极点配置方法2）利用输出反馈的极点可配置条件

用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统图可观测。

证明

下面以多输入—单输出系统为例给出定理的证明。根据对偶定理可知，若被控系统

可观测，则对偶系统

可控，由状态反馈极点配置定理知

的特征值可任意配置，

为

输出反馈向量。由于

的特征值与

的特征值相同，故当且仅当系统

可观测时，可以任意配置

的特征值。证毕。6.1.2

状态反馈极点配置方法

对于多输入—单输出被控系统来说，当采用输出至参考输入的反馈时，反馈增益矩阵

为

维，记为向量

，则

输出反馈系统的动态方程为

若令

，该输出反馈便等价为状态反馈。适当选择

，可使特征值任意配置。但是当比例的状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必定含有输出量的各阶导数，于是

向量不是常数向量，这会给物理实现带来困难，因而其应用受限。可推论，当

是常数向量时，便不能任意配置极点。6.1.2

状态反馈极点配置方法第5步：比较多项式以

与

，令其对应项系数相等，可确定状态反馈增益向量

。第4步：计算状态反馈系统的特征多项式第3步：由要求配置的闭环极点，求出希望特征多项式第2步：检验的可控性。若，则转下步。第1步：列写系统状态方程及状态反馈控制律对于具体的可控单输入—单输出系统，求解实现希望极点配置的状态反馈向量时，不必证明那样去进行可控标准型变换，只需要运行如下简单算法。6.1.2

状态反馈极点配置方法2、单输入—单输出系统的极点配置算法式中：

应当指出，应用极点配置方法来改善系统性能，有以下需要注意的方面。（1）配置极点时并非离虚轴越远越好，以免造成系统带宽过大使抗扰性降低。（2）状态反馈向量露中的元素不宜过大，否则物理实现不易。（3）闭环零点对系统动态性能有影响，在规定希望配置的闭环极点时，需要充分考虑闭环零点的影响。（4）状态反馈对系统的零点和可观测性没有影响，只有当任意配置的极点与系统零点存在对消时，状态反馈系统的零点和可观测性质将会改变。以上性质适用于单输入-多输出或单输出系统，但不适用于多输入-多输出系统。6.1.2

状态反馈极点配置方法例6-1已知单输入线性定常系统的状态方程为求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为解：系统的可控矩阵为系统可控，满足极点可配置条件。系统的希望特征多项式为6.1.2

状态反馈极点配置方法

令于是有可求得6.1.2

状态反馈极点配置方法试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为-2，，闭环系统结构图如图所示。例6-2某受控对象的传递函数为

6.1.2

状态反馈极点配置方法解：（1）因为传递函数没有零，极点对消现象，所以受控系统是能控能观测的。由传递函数直接写出它的能控标准Ⅰ型（2）加入状态反馈阵，求闭环系统特征多项为（3）根据给定极点，求期望特征多项式（4）比较与各对应项系数,可解出6.1.2

状态反馈极点配置方法

例6-3试设计图6-5所示系统中的反馈矩阵，使闭环系统满足下列动态指标（1）输出超调量（2）调整时间6.1.2

状态反馈极点配置方法是能控的。化

为能控标准型解（1）求出受控系统的状态空间方程而

而6.1.2

状态反馈极点配置方法变换矩阵的逆，为二阶系统的阻尼系数，为自振频率。为计算方便选，

（3）确定闭环系统的期望极点。由于对象为3阶系统，因此，期望的极点数为3。选其中一对为主导极点，，另一个为远极点，并且认为系统的性能主要由主导极点，决定，远极点的影响可忽略。根据二阶系统性能指标公式，由，，求出，（2）状态反馈闭环系统的特征多项式，求出为6.1.2

状态反馈极点配置方法，由此可得主导极点为远极点应选择得使其和原点距离大于5，取。从而期望特征多项式为

（4）求状态下的反馈矩阵。令

求出（5）把化成对于原状态的反馈矩阵6.1.2

状态反馈极点配置方法说明几点：（1）定理适用于单输入---单输出系统，而且也适用于单输入---多输出、多输入---单输出和多输入---多输出系统。（2）对于单输入量系统的状态反馈矩阵是一个维行向量，且有唯一解。而对于多输入系统的状态反馈矩阵是一个维矩阵，为输入量的个数，且解不是唯一的。因此，对于多输入---多输出系统采用状态反馈综合变得较复杂。

(3）单输入---单输出系统由状态反馈进行闭环极点配置时，不会改变传递函数的零点（除非有意制造零、极点对消）。而对于多输入---多输出系统由状态反馈进行闭环极点配置时，传递矩阵各元素的零点则可能会改变。6.1.2

状态反馈极点配置方法6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

由于引入反馈，系统的系数矩阵发生了变化，对系统的可控性、可观测性、响应特性等均有影响。对于系统，状态反馈的引入不改变系统的可控性。证明:设被控系统的动态方程为

加入状态反馈后系统的动态方程为

首先证明状态反馈系统

可控的充分必要条件是被控系统可控。系统的可控性矩阵为系统的可控性矩阵为6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性由于式中，为列向量。将表示为行向量组，则

令，，…，式中，均为标量。故这说明的列是列的线性组合。同理有

的列是

列的线性组合，如此等等。故的每一列均可表为的列的线性组合。由此可得另一方面，又可看成为的状态反馈系统，即

6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

同理可得由式(6-32)和式(6-33)可得

从而当且仅当可控时，可控。证毕。

应当指出，状态反馈系统不一定能保持可观测性，对此只需举一反例说明。例如，考察其可观测性判别阵

故该系统可观测。6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

现引入状态反馈，取，则状态反馈系统为

其可观测性判别阵

故该状态反馈系统为不可观测。若取，则通过计算可知，此时它是可观测的。这表明状态反馈可能改变系统的可观测性，其原因是通过状态反馈造成了所配置的极点与零点相对消。6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

对于系统(6-1)，输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性。

证明用对偶定理证明。设被控对象为，将输出反馈至状态微分的系统为，若可观测，则对偶系统可控，由定理可知，系统

加入状态反馈后的系统的可控性不变，因而有6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性上式表明，原系统与原系统可观测性判别阵的秩相等，这意味着若可观测，则也是可观测的，表明输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性。证毕。

显然，由于对偶系统的可观测性判别阵为6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性加入状态反馈后的对偶系统的可观测性判别阵为由定理知，系统加入状态反馈后有可能使得:

因为也是系统的可控性判别阵，又是系统的可控性判别阵，式(6-36)表明，输出至状态微分的反馈有可能改变系统的可控性。

对于系统(5-1),如图6-1所示，输出至参考输入反馈的引入能同时不改变系统的可控性和可观测性，即输出反馈系统为可控(可观测)的充分必要条件是被控系统为可控(可观测)。6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

证明首先，由于对任意输出至参考输入的反馈系统都能找到一个等价的状态反馈系统，知状态反馈可保持可控性，因而输出至参考输入反馈的引入不改变系统的可控性。由于和的可观测性判别阵分别为6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性并且式中，为行向量将表示为列向量组即，则6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性令式中

，为标量，，则有该式表明的行是的行的线性组合。同理有

的行是的行的线性组合，如此等等。故的每一行均可表为的行的线性组合，由此可得

由于又可看成为的输出反馈系统，因而有

由式(6-29)和式(6-30)可得

这表明输出至参考输入的反馈可保持系统的可观测性。

证毕。6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性6.1.4状态反馈与系统的镇定如果n维线性定常系统状态完全能控，则采用状态反馈可以任意配置的n个极点。对于完全能控的不稳定系统总可以求得线性状态反馈阵K，使系统变为渐近稳定，即的特征值均具有负实部，这就是系统的镇定问题。假如状态不完全能控,那么有多少个特征值可以配置？哪些特征值可以配置呢?系统在什么条件下是可以镇定的?设n阶线性定常系统的状态空间表达式为当系统式状态不完全能控时，能控性矩阵的秩，其中可控性矩阵为。对其状态方程进行能控性分解，经线性变换其状态方程变为或者变为约当型状态方程。则n维状态方程是状态完全能控的。6.1.4状态反馈与系统的镇定方阵的个特征值为能控因子，而方阵的个特征值为不能控因子。所以，当状态不完全能控时，其中的维能控子系统采用状态反馈，可以配置的个特征值，计算出1×

状态反馈矩阵。而维不能控子系统的个状态是不能控的，显然不能采用状态反馈配置其特征值。6.1.4状态反馈与系统的镇定若不稳定的线性系统式是状态完全能控的,则一定存在线性状态反馈阵K,实现系统的镇定。若线性系统式的状态是不完全能控的,则存在线性状态反馈阵K,实现系统镇定的充分必要条件是：系统的不能控部分为渐近稳定。镇定问题实际上是极点配置问题的一种特殊情况,与n个极点配置的问题相比，镇定问题的条件是较弱的。6.1.4状态反馈与系统的镇定例6-4

被控系统的状态方程为解被控系统的状态方程为对角型，b中第三行的元素为0，可直接得出的状态不完全能控，有两个状态是能控的，即的秩为2。或者由下列计算获得：求该系统的反馈矩阵。6.1.4状态反馈与系统的镇定被控系统中的2维能控子系统的状态方程为由于不稳定的特征值，，它们是属于2维能控子系统的特征值，而不能控子系统的特征值是稳定的。因此，被控系统式是可镇定的，采用状态反馈可以将2维能控子系统的2个不稳定特征值配置为期望稳定的特征值。6.1.4状态反馈与系统的镇定设指定的期望特征值为，则2维能控子系统的期望特征多项式为引入状态反馈：

1×2状态反馈矩阵为

2维状态反馈子系统的特征多项式为两特征多项式应相等，它们的同次幂项系数相等，得到配置2维能控子系统的特征值为期望值时，1×2状态反馈矩阵6.1.4状态反馈与系统的镇定结论

例6-4中的能控子系统是直接从原状态方程分解得来的，因此所得K，就是K。如果能控子系统是经过线性变换后分解得来的，对能控子系统加状态反馈实现极点配置和镇定后，再把不能控子系统和镇定后的能控子系统合起来，进行线性反变换，求得从原状态变量反馈的K和闭环系统的状态方程。假如不稳定的线性系统式是状态完全能观测的，则一定存在从输出到状态向量导数的线性反馈，实现系统的镇定。假如线性系统式的状态是不完全能观测的，则从输出到状态向量导数的线性反馈，实现系统镇定的充分必要条件是:系统的不能观测部分为渐近稳定的。6.1.4状态反馈与系统的镇定例6-5

已知系统的状态方程为试判别系统是否为可镇定的，若是可镇定的，试用状态反馈使闭环系统为渐近稳定。解（1）判别系统的可控性因此系统为不完全能控。6.1.4状态反馈与系统的镇定（2）能控性结构分解非奇异变换阵为变换后系统的状态方程：

显然不能控的子系统为

则子系统是稳定的，故原系统是可镇定的。6.1.4状态反馈与系统的镇定（3）使系统成为渐近稳定

对能控子系统引入状态反馈，反馈矩阵为能控子系统的闭环特征多项式为根据劳斯稳定判据，要使系统稳定，应有（4）求原系统状态反馈阵K即6.1.4状态反馈与系统的镇定若保证系统渐近稳定而采用的反馈方式是输出反馈，则称该系统是输出反馈能镇定的。对于受控系统，采用输出反馈能镇定的充要条件是其能控能观子系统以外的各子系统为渐近稳定的。实际上，对输出反馈至参考输入信号入口处的这类系统是不能保证一定具有能镇定的。因为对一个能控能观测的系统是不能通过这类输出线性反馈达到任意极点配置的。

应用输出至输入的线性反馈，不一定能实现极点的任意配置。同样，也只能在一定条件下对某些系统实现镇定，不是对所有的能控和能观测的系统都能实现镇定。下面举例说明。总结6.1.4状态反馈与系统的镇定例6-6

有单输入双输出系统判断该系统的观测性以及选择H完成极点配置。解

其特征多项式为显然系统是不稳定的。6.1.4状态反馈与系统的镇定能观测性矩阵的秩为3，系统的状态完全能观测。但系统是完全能控的，因为能控性矩阵其秩为3。同时，矩阵6.1.4状态反馈与系统的镇定加入输出至输入的反馈，反馈阵，其中和是标量值。引入反馈后闭环系统式的系统矩阵为上式缺项，所以无论怎么选择，均不能使系统稳定，更谈不上极点的任意配置。闭环系统的特征多项式为6.1.4状态反馈与系统的镇定6.2状态观测器设计6.2.16.2.3状态观测器原理状态观测器存在条件6.2.2状态观测器构成6.2.4状态观测器的设计利用状态反馈能够任意配置一个能控系统的闭环极点，从而有效地改善控制系统的性能。现代控制理论中，按各种最优准则建立起来的最优控制系统，以及本章所介绍的极点配置、解耦控制等，都离不开状态反馈。然而系统的状态变量并不都是易于直接能检测得到的，有些状态变量甚至根本无法检测，使得状态反馈的物理实现遇到困难。这样，就提出所谓状态观测或者状态重构的问题。利用重构的状态去代替系统的真实状态来实现所需的状态反馈。状态重构问题的实质就是构造一个新的系统（或装置），利用原系统中可直接测量的输入量u和输出向量y作为它的输入信号，并使其输出信号t在一定的提法下等价于原系统的状态t。6.2.1状态观测器原理对于线性定常系统，状态观测器通常也是一个线性定常系统，按其结构可分为全维状态观测器和降维状态观测器。维数等同于原系统维数的观测器为全维观测器，维数小于原系统的称为降维观测器。通常称为的重构状态或状态估计值，称这个用以实现状态重构的系统为状态观测器。一般和之间的等价性常用渐进等价的提法，两者有如下关系6.2.1状态观测器原理6.2.2状态观测器构成当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量状态变量以便实现反馈。由于多数状态变量难以测得，提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器来重构状态的问题。当重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数时，称为全维状态观测器。设被控对象动态方程为：可构造一个动态方程与上式相同但用计算机实现的模拟被控系统

分别为模拟系统的状态向量和输出向量，是被控对象状态向量和输出向量的估值。当模拟系统与被控对象的初始状态向量相同时，在同一输入作用下，有，可用作为状态反馈所需用的信息。但是，被控对象的初始状态与设定值之间可能大不相同，模拟系统中积分器初始条件的设置又只能预估，因而两个系统的初始状态总有差异，即使两个系统的A,B,C矩阵完全一样，也必定存在估计状态与被控对象实际状态的误差，难以实现所需要的状态反馈。而被控系统的输出量总是可以用传感器测量的，于是可根据一般反馈控制原理，将负反馈至处，控制尽快逼近于零，从而使尽快逼近于零，便可以利用来形成状态反馈。6.2.2状态观测器构成根据上述原理构成的状态观测器及其实现状态反馈的结构图如下，状态观测器有两个输入，即u和y，输出为。观测器含n个积分器并对全部状态变量作出估计。H为观测器输出反馈阵，它把负反馈至处，是为配置观测器极点，提高其动态性能，即尽快使逼近于零而引入的。6.2.2状态观测器构成6.2.3状态观测器存在条件1.证明渐近稳定对线性定常系统，状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定。证明：（1）设不完全能观，可进行能观性结构分解。不妨设

已具有能观性分解形式。即为能观子状态；为不能观子状态;

为能观子系统；为不能观子系统。（2）构造状态观测器设为状态

x的估值，为调节渐近于x的速度的反馈增益矩阵。得到观测器方程:或定义为状态误差矢量，可导出状态误差方程:6.2.3状态观测器存在条件（3）确定使渐近于的条件由上式，得:通过适当选择，可使的特征值均具负实部，因而有:同理，可得其解为:6.2.3状态观测器存在条件由于，因此仅当，才对任意和，有：而与特征值均具有负实部等价。只有当的不能观子系统渐近稳定时，才能使。定理得证。6.2.3状态观测器存在条件2.观测器存在条件由图所示可列出全维状态观测器动态方程为故有观测器系统矩阵下，即尽管与不同，但总能保证成立，只有满足该条件，状态反馈系统才能正常工作，式①所示系统才能作为实际的状态观测器，故被称为观测器存在条件。①观测器分析设计的关键问题是能否在任何初始条件6.2.3状态观测器存在条件由和可得其解为6.2.3状态观测器存在条件显见，当时，恒有，所引入的输出反馈并不起作用。当时，有，输出反馈便起了作用，这时只要的特征值具有负实部，初始状态向量误差总会按指数衰减规律足，其衰减速率取决于观测器的极点配置。由前面的输出反馈定理知，若被控对象可观测，则的极点可任意配置，以满足逼近的速率要求，因而保证了状态观测器的存在性。6.2.3状态观测器存在条件状态向量x的重构问题实质上就是根据可直接测量的u和y以及矩阵A,B,C来确定或者产生

的估计值。其状态空间表达式为。并且从所构造的这一装置可以直接测量。这样的装置称为开环状态估计器。然而在工程实际中,这种开环状态估计器是不能付诸使用的,因为它存在如下缺点：（1）每使用一次，都必须重新确定原系统的初始状态并对估计器实施设置，这是极不方便也是极不现实的；（2）若矩阵A具有正实部的特征值，则在某时刻，往往由于干扰或初始状态估计不精确会导致与之间有稍许偏差。随着时间的推移，两者之间的差值将会越来越大，以至达到无穷大。6.2.3状态观测器存在条件若被控系统可观测，则其状态可用形如的全维状态观测器给出估值，其中矩阵H按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰减的速率。选择H矩阵参数时，应注意防止数值过大带来的实现困难，如饱和效应、噪声加剧等，通常希望观测器响应速度比状态反馈系统的响应速度要快些。6.2.4状态观测器的设计例6-7

设被控对象传递函数为

试设计全维状态观测器，将极点配置在-10，-10。解对象的传递函数为根据传递函数可直接写出系统的可控标准型为6.2.4状态观测器的设计

显然，系统可控可观测。输出反馈向量

为2×1向量。全维状态观测器系统矩阵为观测器特征方程为其中6.2.4状态观测器的设计期望特征方程为令两特征方程同次项系数相等，可得：

因而有

。，分别为由

引至和的反馈系数。

6.2.4状态观测器的设计6.3带有观测器的状态反馈系统的设计6.3.1带有观测器的状态反馈系统的构成6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法

状态观测器解决了被控系统的状态重构问题，为那些状态变量不能直接量测的系统实现状态反馈创造了条件。

然而，这种依靠状态观测器所构成的状态反馈系统和直接进行状态反馈的系统之间究竟有何异同?6.3.1带有观测器的状态反馈系统的构成

现在要用状态反馈改善系统的性能，而状态变量信息是由观测器提供的，这时,整个系统便由三部分组成，即被控系统、观测器和控制器。图6-7所示是一个带有全维状态观测器的状态反馈系统。图6-7带状态观测器的状态反馈系统状态反馈控制规律为状态观测器方程为由以上三式可得整个闭环系统的状态空间表达式为：设能控能观测的被控系统为可将其写成分块矩阵的形式或6.3.1带有观测器的状态反馈系统的构成6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法1.

闭环极点设计的分离性和状态变量之间的关系将式(6-41)作非奇异线性变换,就能得到式(6-42)，而非奇异线性变换并不改变系统的特征值。因此根据式(6-42)便可得到组合系统式(6-41)的特征多项式为

观测器构成状态反馈的闭环系统，其特征多项