现代控制理论 课件 第三章 线性连续时不变系统状态方程的解

第三章线性连续时不变系统状态方程的解

主讲：伍锡如第三章目录CONTENTS12343.1线性连续时不变系统状态方程的解3.2状态转移矩阵3.3线性定常系统非

齐次状态方程的解3.4线性定常离散动态方程的解3.1线性连续时不变系统状态方程的解3.1.13.1.3幂级数法凯莱-哈密顿定理法3.1.2拉普拉斯变换法3.1引言状态方程是描述系统状态运动过程的一阶微分方程组。状态方程的解，本质上是反映系统在初始状态值x(0)外输入u的共同作用下，系统状态响应的过程及基本特性。自由运动：其中由初始状态值引起的状态响应，常称为系统的自由运动。系统的自由运动，相对应的是其次状态方程的解。强迫运动：由外输入u引起的状态响应，常称为系统的强迫运动。齐次状态方程是指系统输入量为零时的状态方程：

若初始时刻t0时的状态给定为

则原式有唯一确定解若初始时刻从t0=0开始，即，则其解为它反映了系统自由运动的状况，即没有输入作用的状况。对于齐次状态方程求解有三种常见解法：幂级数法、拉普拉斯变化法和凯莱-哈密顿定理法。3.1.1幂级数法首先假设

，并且设

的解为t的矢量幂级数形式，即

代入得

上式的同次幂系数相等，可以得到：

3.1.1幂级数法3.1.1幂级数法在式

中，令t=0可得

从而得到

因为指数函数所以方程等式

右边括号内的展开式是一个矩阵，是一个矩阵指数函数，记为的解为3.1.1幂级数法进一步推广，若定义矩阵指数函数

的解为为系统的状态转移矩阵，记为

，状态转移矩阵表明x(t)是由x(0)转移过来的若初始状态，有齐次状态方程的解为，对应的初始状态则齐次状态方程3.1.1幂级数法例1

已知齐次状态方程

及系统的初始状态值x(0)，求状态响应。

解：先求可得3.1.2拉普拉斯变换法3.1.2拉普拉斯变换法设初始时刻从t=0开始，状态初始值x(t)为x(0)，对方程若两端取拉普拉斯变换整理可得进一步取拉普拉斯反变换就可以得到系统的解

逆矩阵存在，则有其状态转移矩阵为

3.1.2拉普拉斯变换法例2

已知系统状态方程和初始条件为

解：其中试用拉普拉斯变换求解状态转移矩阵。

则有而3.1.2拉普拉斯变换法所以状态转移矩阵为3.1.3凯莱-哈密顿定理法3.1.3凯莱-哈密顿定理法

是时间t的函数，这些系数由系统特征方程

其中，系数

3.1.3凯莱-哈密顿定理法

（3）当矩阵A的特征值有相异根又有重根时，待定系数分别用上面两种情况求出相应的系数值。设n阶矩阵A的特征多项式为则有矩阵A满足它的的特征方程，即3.1.3凯莱-哈密顿定理法从该定理可以得到以下两个推论：

3.1.3凯莱-哈密顿定理法

3.1.3凯莱-哈密顿定理法

例3

已知齐次状态方程

及系统的初始状态值x(0)，求状态响应。

采用凯莱-哈密顿定理法求解。

3.1.3凯莱-哈密顿定理法解：矩阵的特征值为

对于λ3=2，有对于λ1,2=1，有因为是二重特征值，故需补充方程从而联立方程求解，得可得3.2状态转移矩阵3.2.13.2.3状态转移矩阵的定义状态转移矩阵的计算3.2.2状态转移矩阵的性质3.2.1状态转移矩阵的定义3.2.1状态转移矩阵的定义线性定常系统的齐次状态方程：满足初始状态

的解是：满足初始状态

的解是：已知：线性定常系统的状态转移矩阵令：

则有：

3.2.1状态转移矩阵的定义说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：1）状态转移矩阵初始条件：2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵3.2.2状态转移矩阵的性质3.2.2状态转移矩阵的性质将代入即可证。

性质1：不发生时间推移下的不变性：证明：性质2：交换性：证明：3.2.2状态转移矩阵的性质

性质3：分解性：证明：性质4：可逆性：证明：3.2.2状态转移矩阵的性质

性质5：证明：性质6：传递性：证明：3.2.2状态转移矩阵的性质

性质7：倍时性：证明：性质8：矩阵A、B满足乘法交换律时，即AB=BA是，有证明：同时则有因此，当且仅当AB=BA时，有该性质说明，除非A与B矩阵是可交换的，它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的3.2.3状态转移矩阵的计算

直接求解法：根据定义变换A为Jordan标准型A特征值有重根拉氏反变换法待定系数法：凯利－哈密顿定理3.2.3状态转移矩阵的计算3.2.3状态转移矩阵的计算1、根据状态转移矩阵的定义求解：例4

已知

解：根据定义此法具有步骤简便和编程容易的优点，适合于用计算机计算。但是采用此法计算难于获得解析形式的结果。3.2.3状态转移矩阵的计算2、变换A为Jordan标准型

其中：T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。

3.2.3状态转移矩阵的计算可求得相应的变换矩阵代入可得：例5

已知

解：可得3.2.3状态转移矩阵的计算3、A特征值有重根

其中：T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。

3.2.3状态转移矩阵的计算例6

已知

解：可得求出变换矩阵3.2.3状态转移矩阵的计算4、利用拉普拉斯变换法求关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。例6

已知

解：3.2.3状态转移矩阵的计算可得3.2.3状态转移矩阵的计算5、应用凯莱-哈密顿定理求设n×n维矩阵A的特征方程为：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：故：它是

的线性组合3.2.3状态转移矩阵的计算同理可得以此可推都可以用表示。且用上述方法可以消去A的n及n以上的幂次项，可得：3.2.3状态转移矩阵的计算例7

已知

解：A的特征方程根据凯莱-哈密顿定理，有3.2.3状态转移矩阵的计算代入中可得：3.2.3状态转移矩阵的计算例8

线性定常系统的齐次状态方程为试用凯莱-哈密顿定理计算其状态转移矩阵解：求矩阵A的特征方程特征根，两两相异，可得3.2.3状态转移矩阵的计算即于是状态转移矩阵为3.3线性定常系统非齐

次状态方程的解3.3.1积分法3.3.2拉普拉斯变换法非齐次状态方程描述了线性定常系统在控制作用下的运动，是同时考虑初始状态和外输入共同作用下状态运动的表达式，即延时符求解非齐次状态方程的解主要有积分法和拉普拉斯变换法两种解法。（3-16）3.3引言3.3.1积分法由式（3-16）改写得到上式等号两边都乘由于3.3.1积分法对等式两边积分可得则

式中：第一项为状态转移项，是系统对初始状态的响应，即零输入响应；第二项是系统对输入作用的响应，即零状态响应。3.3.1积分法通过变量代换，该式还可以表示为（3-17）若取t0作为初始时刻，则有3.3.1积分法3.3.2拉普拉斯变换法将非齐次状态方程式两端取拉普拉斯变换移项并合并得此时若有逆矩阵存在，则有3.3.2拉普拉斯变换法上式取拉普拉斯反变换可得若解用状态转移矩阵表示，可表示为

由以上推导可知，非齐次状态方程的解由两部分组成，一部分是齐次状态方程的解，由初始状态引起的，常称它为系统状态的自由运动或称为零输入响应，它只与初始状态和系统本身的结构有关；另一部分则与输入作用和结构特性有关，常称它为系统的强迫运动。3.3.2拉普拉斯变换法例3-15设系统状态方程为设初始状态为，求当时系统的解。3.3.2拉普拉斯变换法解

由于,，由前文推导可得采用拉普拉斯变换方法求系统的状态转移矩阵，即3.3.2拉普拉斯变换法故若初始条件为零，即若初始条件为零，即的响应仅取决于控制作用的激3.3.2拉普拉斯变换法激励部分，而为

在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解答式不再是，可简化为：1.脉冲响应即当时式中K是与同维的常数矢量。2.阶跃响应即当3.3.2拉普拉斯变换法3.斜坡响应即当例3-16求下述系统在单位阶跃函数作用下的解3.3.2拉普拉斯变换法之后将解

首先求，可得，，代入下式中3.3.2拉普拉斯变换法可得3.3.2拉普拉斯变换法3.4线性定常离散动态

方程的解3.4.1递推法3.4.2Z变换法3.4.1递推法

离散时间状态方程有两种解法：递推法和Z变换法。递推法也称迭代法，它对定常系统和时变系统都是适用的；Z变换法则只能应用于求解常系统。线性定常离散时间控制系统的状态方程为(3-18)这个一阶差分方程的解为3.4.1递推法或即(3-19)证明

用迭代法解差分方程式(3-18)：3.4.1递推法最后得到式(3-19)。式(3-19)还可用矢量矩阵形式表示为：3.4.1递推法

解式(3-19)是按初始时刻k=0得到的，若初始时刻k=h开始，且相应的初始状态为x(h)，则其解为或(3-20)

显然，离散状态方程的求解公式和连续状态方程的求解公式在形式上是类似的。它也由两部分响应组成，即由初始状态所引起的响应和输入信号所引起的响应。不同的是离散状态方程的解，是状态空间的一条离散轨迹。同时，在由输入引起的响应中，第k个时刻的状态，只与此采样时刻以前的输入采样值有关，而与该时刻的输入采样值无关。3.4.1递推法由式(3-19)和式(3-20)，可以看到，式中Gk或Gk-h相当于连续系统中的或。类似地，这里也定义：或(3-21)为离散时间系统的状态转移矩阵，很明显，它满足:(3-22)具有以下性质：(3-23)(3-24)3.4.1递推法，离散时间状态方程式的解式(3-19)可以表示为利用状态转移矩阵或而式(3-20)可写成：或(3-25)3.4.1递推法例3-17离散时间系统的状态方程：试求当初始状态试求当初始状态

和控制作用为u(t)=1时，此系统的

和x(k)。3.4.1递推法解

根据定义：按上式直接计算

有一定困难，为此，将原状态方程交换成约旦标准型，即将G变换为对角型。令，代入原式得：相应地有：(3-26)3.4.1递推法因此又求得：3.4.1递推法从而容易求得：现按式(3-26)先求，等式右边第一项为：3.4.1递推法该式右边第二项为：3.4.1递推法所以因此3.4.1递推法3.4.2Z变换法对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用Z变换法来求解。设定常离散系统的状态方程是：对上式两端进行Z变换，有：或所以：3.4.2Z变换法对上式两端取Z的反变换，得：(3-27)对式(3-19)和式(3-27)比较，有：(3-28)(3-29)

如果要获得采样瞬时之间的状态和输出，只需在此采样周期内，即在KT≤t≤(k+1)T内，利用连续状态方程解的表达式：3.4.2Z变换法

为了突出地表示t的有效期在KT≤t≤