现代控制理论 课件 第四章线性系统的可控性和可观测性

第四章线性系统的可控性和可观测性主讲：伍锡如4.1线性定常系统的

可控性及其判别4.1.14.1.3线性定常系统可控性定义用传递函数矩阵表达的状态可控性条件4.1.2线性定常系统状态可控性的代数判据4.1.4输出可控性概述可控性(controllability)和可观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，是由R．E．Kalman于20世纪60年代初首先提出并研究的两个重要概念。粗略地说，所谓系统的可控性问题是指：一个系统通过外部输入来控制系统行为的能力，控制作用能否对系统的所有状态产生影响，从而能对系统的状态实现控制。如果存在一个输入信号可以在有限时间内将系统从任何初始状态驱动到任何期望的最终状态，则称该系统具有可控性；而所谓系统的可观测性问题是指：一个系统能否在有限的时间内基于其输入和输出推断或估计系统的所有状态的能力，如果可以根据其在有限时间间隔内的输入和输出确定其内部状态，则称该系统具有可观测性。线性定常系统可控性定义

线性定常系统可控性定义

解图中为小车推力，为小车位移，为小车质量，首先选取系统的两个状态变量，令，可以建立系统状态空间方程：根据牛顿第二定律，可以写出如下方程，即：

线性定常系统可控性定义

进一步，可以得到小车速度和位置的运动方程为线性定常系统状态可控性的代数判据再由拉普拉斯反变换结合上述条件得下面推导状态可控的条件。为了不失一般性，同时方便后续推导过程，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即。这里需要注意零时刻与零状态的区别。经拉普拉斯变换得：线性定常系统状态可控性的代数判据

或将写为A的有限项的形式，即将式代入式，可得记线性定常系统状态可控性的代数判据则式如果系统是状态可控的，那么给定任一初始状态x(0)，都应满足式

。这就要求n×n维矩阵

的秩为n由此分析，对于连续定常系统，可将状态可控性的代数判据归纳为：当且仅当n×n维矩阵Q满秩，即:线性定常系统状态可控性的代数判据时，由式①确定的系统才是状态可控的。

上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为式中，x(t)∈Rn，u(t)∈Rr，A∈Rn×n，B∈Rn×r，那么可以证明，状态可控性的条

件为n×nr维矩阵的秩为n，或者说其中的n个列向量是线性无关的。通常，称矩阵为可控性矩阵。线性定常系统状态可控性的代数判据例4-2考虑由下式确定的系统解

由于即Q为奇异阵，不是满秩矩阵，所以该系统是状态不可控的。例4-3考虑由下式确定的系统线性定常系统状态可控性的代数判据解

对于该情况即Q为非奇异，是满秩矩阵，因此系统是状态可控的。例4-4系统状态方程如下，试判断其能控性。解

于是有：线性定常系统状态可控性的代数判据

用传递函数矩阵表达的状态可控性条件状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，说明它们共享相同的特征，意味着这些模态的响应不能确保被单独地控制，也就是说，在一个独立的输入信号的作用下，会有不止一个模态发生状态转移，从而准确预测系统的变化，因而系统不可控。从另一个角度来说，若传递函数分子和分母约去一个相同公因子之后，就相当于状态变量减少了一维，系统出现了一个低维能控子空间和一个不能控子空间，故属不能控系统。例4-5考虑下列传递函数用传递函数矩阵表达的状态可控性条件解

：在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子(s+2.5)(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不可控。当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。首先将传递函数进行化简从而在能控标准型矩阵中用传递函数矩阵表达的状态可控性条件故状态方程为即可控性矩阵[BAB]的秩为1，所以可得到状态不可控的同样结论。输出可控性在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输出，状态可控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出可控性。考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统式中，x∈Rn，u∈Rr，y∈Rm，A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈Rm×n，D∈Rm×r。如果能找到一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间间隔内，使任一给定的初始输出y(t0)转移到任一最终输出y(t1)，那么称由式①和式②所描述的系统为输出可控的。用传递函数矩阵表达的状态可控性条件由系统状态可控的充分必要条件是是满秩矩阵可以推导，系统输出可控的充要条件为：当且仅当m×(n+1)r维输出可控性矩阵的秩为m时，由式①和式②所描述的系统为输出可控的。注意，在式②中存在Du项，对确定输出可控性是有帮助的。4.2线性定常系统的可

观测性及其判别4.2.14.2.3线性定常系统的可观性定义用传递函数矩阵表达的可观测性条件4.2.2线性定常系统状态可观测性的代数判据线性定常系统的可观性定义现在讨论线性系统的可观测性。考虑零输入时的状态空间表达式：式中：状态变量x∈Rn，输出量y∈Rm，系数矩阵A和C，其中A∈Rn×n，C∈Rm×n。不难发现，在有限时间间隔内，输出量y(t)跟随系统状态变量x(t)的变化而变化，那么反过来，通过对输出量y(t)的测量可完全获取状态变量x(t)的信息，即系统状态变量完全能由观测值确定，则称系统为(完全)可观测的。线性定常系统的可观性定义在实际问题中，状态反馈往往是多个状态变量的组合，但并非所有的系统状态变量都可以在物理上测量得到，因而在构造控制器时，必须首先估计出不可测量的状态变量。可观测性的概念非常重要，因为当且仅当系统是可观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。下面讨论可观测性条件时，将只考虑零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式：经拉普拉斯变换，得线性定常系统的可观性定义得：于是有再由拉式反变换，得：由于矩阵A，B，C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究可观测性的充要条件，只考虑零输入系统就可以了。线性定常系统状态可观测性的代数判据考虑由上述所描述的线性定常系统。将其重写为易知，其输出向量为将eAt写为A的有限项的形式，即因而线性定常系统状态可观测性的代数判据显然，如果系统是可观测的，那么在时间间隔内，给定输出y(t)，就可唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nm×n维可观测性矩阵

的秩为n。由上述分析，系统可观测的充要条件表述为：由上述所描述的线性定常系统，当且仅当n×nm维可观测性矩阵：线性定常系统状态可观测性的代数判据的秩为n，即rankRT=n以时，该系统才是可观测的。例4-6试判断由式所描述的系统是否为可控和可观测的？线性定常系统状态可观测性的代数判据解由于可控性矩阵的秩为2，即rankQ=2=n，故该系统是状态可控的。对于输出可控性，可由系统输出可控性矩阵的秩确定。由于的秩为1，即rankQ´=1=n，故该系统是输出可控的。为了检验可观测性条件，先来验算可观测性矩阵的秩。由于的秩为2，rankRT=2=n，故此系统是可观测的。线性定常系统状态可观测性的代数判据例4-7试判断由式所描述的系统是否是可观测的？解

系统的观测矩阵

，系统矩阵线性定常系统状态可观测性的代数判据那么有于是系统可观测矩阵为Q是满秩矩阵，所以系统是能观的。例4-8试判断由式所描述的系统是否仍然是可观测的？线性定常系统状态可观测性的代数判据解系统的观测矩阵，系统矩阵所以可观测矩阵

线性定常系统状态可观测性的代数判据

用传递函数矩阵表达的可观测性条件类似地，可观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时可观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不可观测了。例4-9证明下列系统是不可观测的。式中用传递函数矩阵表达的可观测性条件

解：由于可观测性矩阵注意到即rankRT＜3=n，故该系统是不可观测的。事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X1(s)和U(s)之间的传递函数为用传递函数矩阵表达的可观测性条件

又Y(s)和X1(s)之间的传递函数为故Y(s)与U(s)之间的传递函数为显然，分子、分母多项式中的因子(s+1)可以约去。这意味着，该系统是不可观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。当且仅当系统是状态可控和可观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。4.3线性定常系统的线性变换4.4.14.4.3状态空间表达式的线性变换非奇异线性变换的不变特性4.4.2对偶原理状态空间表达式的线性变换

设系统动态方程为令式中为非奇异线性变换矩阵，它将变换为，变换后的动态方程为式中并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使阵规范化，并不会改变系统的有性质，故称为等价变换。分析计算后，再引入反变换关系，得出最终结果。

状态空间表达式的线性变换

下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。（1）化阵为对角型1）设阵为任意形式的方阵，且有个互异实数特征

值，则可由非奇异线性变换化为对角阵。

P阵由阵的实数特征向量组成状态空间表达式的线性变换

特征向量满足2）若阵为友矩阵，且有个互异实数特征值，则下列的范德蒙特矩阵可使对角化：状态空间表达式的线性变换

3）设阵具有重实数特征值，其余为个互异实数特征值，但在求解时仍有个独立实特征向量，则仍可使阵化为对角阵。

式中是互异实数特征值对应的实特征向量。状态空间表达式的线性变换

（2）化阵为约当阵

1）设阵具有重实特征值，其余为个互异实特征值，但在求解时只有一个独立实特征向量，只能化为约当阵。状态空间表达式的线性变换

中虚线示出存在一个约当块。式中是广义实特征向量，满足

是互异特征值对应的实特征向量。状态空间表达式的线性变换

2）设为友矩阵，具有重实特征值，且只有一个独立实特征向量，则使约当化的为式中3）设阵具有五重实特征值，但有两个独立实特征向量，其余为个互异实特征值，阵约当化的可能形式是状态空间表达式的线性变换

状态空间表达式的线性变换

中虚线示出存在两上约当块，其中（3）化可控系统为可控标准型在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：状态空间表达式的线性变换

与该状态方程对应的可控性矩阵是一个右下三角阵，其主对角线元素均为1，故，系统一定可控，这就是形如上式中的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵形如状态空间表达式的线性变换

一个可控系统，当不具有可控标准型，一定可以选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为进行变换，即令变换为要求状态空间表达式的线性变换

下面具体推导变换矩阵：设变换矩阵为

根据阵变换要求，应满足变换要求，有

展开为状态空间表达式的线性变换

经整理有

状态空间表达式的线性变换

由此可得变换矩阵又根据阵变换要求，应有即状态空间表达式的线性变换

故该式表明是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出变换矩阵的求法如下：1）计算可控性矩阵；2）计算可控性矩阵的逆阵，设一般形式为3）取出的最后一行（即第行）构成行向量状态空间表达式的线性变换

4）构造阵5）

便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。状态空间表达式的线性变换

例4-10已知可控系统

，

试将该状态方程变换为可控标准型。

解：1）计算可控性矩阵；2）计算可控性矩阵的逆阵3）取出的最后一行构成行向量为4）构造阵5）则将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵为状态空间表达式的线性变换

6）则系统的可控标准型为对偶原理

下面讨论可控性和可观测性之间的关系。为了阐明可控性和可观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R．E．Kalman提出的对偶原理。考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1式中，x∈Rn，u∈Rr，y∈Rm，A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈Rm×n。以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2式中，z∈Rn，v∈Rm，w∈Rr，AT∈Rn×n，CT∈Rn×m，BT∈Rr×n。对偶原理对偶原理：当且仅当系统S2状态可观测(状态可控)时，系统S1才是状态可控(状态可观测)的。为了验证这个原理，下面写出系统S1和S2的状态可控和可观测的充要条件。对于系统S1：

状态可控的充要条件是n×nr维可控性矩阵的秩为n；状态可观测的充要条件是n×nm维可观测性矩阵的秩为n。对于系统S2：

状态可控的充要条件是n×nm维可控性矩阵的秩为n；状态可观测的充要条件是n×nr维可观测性矩阵的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检验和判断。简单地说，对偶性有如下关系

非奇异线性变换的不变特性

通过研究将会表明，系统经过非奇异线性变换，系统的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持不变。下面以变换为例进行论证。

设系统动态方程为令，变换后动态方程为非奇异线性变换的不变特性

（1）变换后系统特征值不变变换后系统的特征值为可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于非奇异线性变换，系统特征值具有不变性。非奇异线性变换的不变特性

（2）变换后系统传递矩阵不变变换后系统的传递矩阵为这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵对于非奇异线性变换具有不变性。非奇异线性变换的不变特性

（3）变换后系统可控性不变变换后系统可控性矩阵的秩为其中，为变换后系统的可控性矩阵；为变换前系统的可控性矩阵。可见，变换后与变换前系统可控性矩阵的秩相等，根据系统可控性的秩判据可知，对于非奇异线性变换，系统的可控性不变。非奇异线性变换的不变特性

（4）变换后系统可观测性不变设变换后系统的可观测性矩阵为，变换前系统的可观测性矩阵为，则有可见，变换后与变换前系统的可观测性矩阵的秩相等，故系统的可观测性不变。4.4单输入单输出系统状态空间描述的标准型4.4.14.4.3可控标准型对角线标准型4.4.2可观测标准型4.4.4Jordan标准型可控标准型设单输入/单输出系统的传递函数由下式表示对上述传递函数进行串联分解，将传递函数Y(s)/U(s)分解成两个部分，并在此之间新增一个中间变量Z(s)如图所示：传递函数形式为：可控标准型于是有于是设：即：统一化成状态变量

x的形式有：对于输出Y(s)拉式反变换：可控标准型同样化为状态变量x的形式有：将代入，可得：于是，可控标准型的状态空间表达式为：可控标准型

在真实物理模型中，由于控制系统存在能量损耗，因此输出一定是小于输入的，也就意味着在传递函数中象征着输出的分子阶次不可能超过象征着输入的分母的阶次，而在绝大多数情况下，分子的阶次是小于分母阶次的，可控标准型的状态空间表达式中的b0=0，那么能控标准型输出为：

在讨论控制系统设计的极点配置方法时，这种可控标准型是非常重要的。可控标准型

例4-11考虑下式确定的系统试求其状态空间表达式的可控标准型。解

由题可得：三阶系统的可控标准型的状态空间表达式：将参数代入得可控标准型为：可观测标准型下列状态空间表达式为可观测标准型其中上述给出的状态方程中n×n维系统矩阵是可控标准型中所给出的相应矩阵的转置。对角线标准型参考单输入/单输出系统的传递函数：这里，考虑分母多项式中只含相异根的情况。因此，可将上式写成：该系统的状态空间表达式的对角线标准型由下式确定：Jordan标准型

考虑到参考单输入/单输出系统传递函数的分母多项式含有重根的情况。对此，必须将前面的对角线标准型修改为Jordan标准型。例如，假设除了前3个pi相等，即p1=p2=p3外，其余极点相异。该式的部分分式展开式为：该系统状态空间表达式的Jordan标准型由下式确定Jordan标准型例4-12考虑下式确定的系统试求其状态空间表达式的可控标准型、可观测标准型和对角线标准型。解

可控标准型为:

可观测标准型为:

对角线标准型为:4.5基于系统标准型的可控可观判据4.5.1状态可控性条件的标准型判据4.5.2状态可观测性条件的标准型判据状态可控性条件的标准型判据关于定常系统可控性的判据很多。除了代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准型的角度给出的判据。考虑到如下的线性系统：式中，如果

A的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P，使得

如果A的特征值相异，那么A的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。例如，具有相重特征值的n×n维实对称矩阵也有可能有n个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵P的每一列是与λi(i=1，2，…，n)有联系的A的一个特征向量。状态可控性条件的标准型判据

设，则可得，定义

可将上式重写为如果n×r维矩阵

Γ的任一行元素全为零，那么对应的状态变量就不能由任一ui来控制。由于状态可控的条件是A的特征向量互异，因此当且仅当输入矩阵Γ=P–1B没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态可控的。在应用状态可控性的这一条件时，应特别注意，必须将矩阵P–1AP转换成对角线形式。状态可控性条件的标准型判据如果

中的矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准型。例如，若A的特征值分别λ1，λ1，λ1，λ4，λ4，λ6，…，λn，并且有n-3个互异的特征向量，那么A的Jordan标准型为其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jordan块。状态可控性条件的标准型判据假设能找到一个变换矩阵S，使得，利用

定义一个新的状态向量z将上式代入

中，可得到：从而

确定的系统的状态可控性条件可表述为：当且仅当：①式(4-73)中的矩阵

J中没有两个Jordan块与同一特征值有