河北省名校联盟2026届高三上学期一模联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省名校联盟2026届高三上学期一模联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，所以.故选：B.2.已知命题，命题，则（）A.p和q都是假命题 B.p是真命题，q是假命题C.p是假命题，q是真命题 D.p和q都是真命题【答案】C【解析】命题是全称量词命题，当时，，所以是假命题；命题是存在量词命题，当时，，所以是真命题.故选：C.3.已知向量均为单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由向量均为单位向量，且，得，整理得，即，所以.故选：D.4.2025年11月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且研发资金投入x/亿元210性能提升评估指数y212已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（）A.0.1 B.0.3 C.0.5 D.0.7【答案】B【解析】由及，得，则在新样本中，，所以.故选：B.5.已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点O的直线l与C相交于A，B两点，若点A在第一象限，且，则双曲线C的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点O的直线l与C相交于A，B两点，点A在第一象限，由，有，所以为直角三角形，，由对称性可知，则有，又，得，中，，则有，化简得，即，所以双曲线C的离心率.故选：C.6.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程，得，而，则，令函数，函数的图象开口向下，对称轴方程为，函数的最小值为0，图象关于直线对称，在同一坐标系内作出函数的图象，如图：依题意，函数的图象有且只有两个交点，而它们有相同的对称轴，因此，即，又，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A.7.已知正数x，y，z满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，则，令函数，当时，求导得，函数在上单调递减，因此，而，则，所以.故选：B.8.已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正四棱柱底面，故底面积为，体积为128，得高，以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，与相交于点，有，与相交于点，有，由，得为靠近的四等分点，有，同理，有，，，下底面是边长为8的正方形，中心，上底面是边长为2的正方形，中心，中心连线垂直于底面，故四棱台为正四棱台。四棱台的外接球球心在直线上，设球心坐标为，由球心到和距离相等，有，解得，外接球半径的平方，表面积.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数则（）A.函数与有相同的最小正周期B.函数与的图象至少有一条相同的对称轴C.函数与的图象的对称中心之间的最小距离为D.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象【答案】ABD【解析】对于选项A，，所以周期，，周期，两者周期相同，故A正确.对于选项B，的对称轴满足（），解得（），的对称轴满足（），解得（），当时，是两者共同的对称轴，故B正确.对于选项C，的对称中心满足（），解得，对称中心为（），的对称中心满足（），解得，对称中心为（），则两个对称中心的距离为，当，时，距离为，此时距离为，比更小，故C错误.对于选项D，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到.再将的图象向左平移个单位长度，得到，而，故D正确.故选：ABD.10.已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，长轴长为4，F为C的右焦点，第二象限的点P为椭圆上一点，Q为点P关于y轴的对称点，PQ交y轴于点M，N为线段FQ的中点，则（）A.B.C.设A是C的左顶点，直线AP和AQ的斜率分别为，则D.内切圆半径的取值范围为【答案】AC【解析】由题意可得，所以，所以椭圆方程为，对于A，，故A正确；对于B，设椭圆的左焦点为，连接，由对称性可得四边形为等腰梯形，所以，所以，故B错误；对于C，设，所以，所以，因为，所以，故C正确；对于D，设椭圆的上顶点为，内切圆半径为，由可得，即，即，解得，故D错误.故选：AC.11.已知定义域为R的函数f(x)满足下列条件：（1）对任意的，都有（2）当时，.则下列结论正确的是（）A.B.函数的图象关于y轴对称C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】对任意的，都有，对于A，令，则，令，得，则，令，得，则，因此，A正确；对于B，令，得，即，因此，函数是奇函数，其图象关于原点对称，B错误；对于C，令，即，取，则，于是，即，当时，，，则，此时，当时，由奇函数的性质得，则，因此，，C正确；对于D，令，则，当时，，任取，，由，得，则，而，因此，即，此时，而，则，即，因此函数在上单调递减，由奇函数性质得在上单调递减，由，得，则，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正项等比数列的前n项和为，且则数列的公比为_______.【答案】2【解析】由题意可得，因为，两边同时除以可得，解得.故答案为：2.13.已知且则________.【答案】【解析】令，则，且，，由可得，即，①又，即，②由①②两式可得，所以，所以.故答案为：.14.如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有________种.【答案】【解析】将三个有阴影的圆中填入的数字用表示，当为9，8，7时，有种填法；当为9，8，6时，则7不能与6相邻，故7有种填法，剩余的五个数字可以任意填在空白圆中，有种情况，有2160种填法；当为9，8，5时，则与5相邻的只能是4，3，2，1中的三个数字，有种填法；当为9，8，4时，则与4相邻的只能是3，2，1，有种填法；当为9，7，6时，则8与9相邻且8只有1种位置，有种填法；当为9，7，5时，则8与9相邻且8只有1种位置，6不与5相邻有2种位置选择，有种填法；当为9，7，4时，则8与9相邻且8只有1种位置，与4相邻的只能是3，2，1，故有种填法.所以填法共有：(种).故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，.（1）求A;（2）若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD的长.条件①:AD是BC边上的中线；条件②:AD是的平分线.解：（1）在中，由，得，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）令的内角所对边长分别为，由的面积为，得，则，由的周长为20，得，由，得，即，解得，选择条件①：AD是BC边上的中线，则，所以.选择条件②：AD是的平分线，由，得，则，所以.16.人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为，通过物理实现环节的概率分别为已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响.（1）当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大?（2）当时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.解：（1）老张通过两个环节的概率为，因为，所以当时，取得最大值.所以当时，老张通过两个环节的概率最大.（2）当时，老张进入流片与测试环节的概率为，小李进入的概率，小军进入的概率，设为能进入的人数，则的可能取值为，，，，.分布列为：0123P数学期望为.17.如图，四棱锥中，平面，，底面为正方形.（1）证明：平面平面.（2）若E，G分别为PA，PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面交PD于点H.①求的值；②求平面与平面所成二面角的正弦值.（1）证明：在四棱锥中，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）解：①由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，则，设，，由点平面，得，即，则，因此，，所以.②设平面的法向量，则，令，得，而平面的法向量，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.18.已知函数.（1）求函数的极值;（2）证明：对任意的；（3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程无实数根.（1）解：函数的定义域为R，求导得，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，所以当时，函数取得极大值，无极小值.（2）证明：不等式，令函数，依题意，，求导得，令函数，求导得，因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，则，所以对任意的.（3）证明：函数定义域为R，求导得，由，即，得，函数有唯一零点，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，函数在处取得最大值，且当时，；当时，，由函数有且仅有一个零点，得，即，消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，而，则，，又函数在上单调递增，因此，方程中，，所以方程无实数根.19.如图所示，已知抛物线被两组首尾相接的平行线段所截，其中一组平行线的斜率为，一组平行线.与x轴垂直，将两组平行线与抛物线C在x轴上方的交点从左到右依次记为x轴下方的交点从左到右依次记为若点的横坐标为1，且点到抛物线C的准线的距离为（1）求p的值；（2）求的面积；（3）设当时，数列的前n项和为，若对任意的，恒有求实数m的取值范围.解：（1）由题意知抛物线的准线方程为，则由题意得，整理得，即，得.（2）由（1）知抛物线的方程为，则，因为点在抛物线上，则