河北省邢台市质检联盟2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市质检联盟2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（）A. B.C D.【答案】D【解析】将数列改写为：，，，，，…，所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式.故选：D.2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，因为，解得，又因为抛物线开口向上，对称轴为y轴，所以焦点坐标为，代入，得，因此焦点坐标为.故选：B.3.在等差数列中，，则（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】由等差数列的性质可知，则，故.故选：D.4.如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，所以，．设异面直线AG与EF所成的角为，则．故选：C．5.在数列中，，，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因为，所以.因为，所以，，，所以是以3为周期的周期数列，则.故选：A.6.在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP.由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直，则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.因为，，所以，，，所以，，则点到直线EF的距离是.故选：B.7.设等差数列，的前项和分别为，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列性质得，且，，所以.故选：C.8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当点在线段上时，等号成立.设.因为，所以，所以，即.因为，，所以直线的方程为.由得或因为在线段上，所以，则的坐标为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线平分圆：的周长，且直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由题意可得直线过圆的圆心.当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距都是0，符合题意，此时直线的方程为，即.当直线不经过原点时，设直线的方程为，则，解得，故直线的方程为，即.故选：AC.10.设数列的前项和为，若，，且，则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由，令，得，则是首项为2，公比为2的等比数列，故，因为，所以，则，.故选：BD.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线C右支上的点，G是的内心，记，，的面积分别为，，，且，，则（）A.B.C.的最大值是7D.当时，【答案】ACD【解析】设内切圆的半径为r，则，所以，又，所以，故，A正确．作，垂足为H，则．由双曲线的定义及切线长定理可得．又，解得，，所以，B错误．因为，所以．因为，所以，C正确．延长PG交于点M．因为，所以．由角平分线定理可得，所以，所以，解得，D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若椭圆：的离心率是，则______.【答案】7【解析】由题意可得，，且，则，因为椭圆的离心率为，所以，解得.故答案为：7.13.在数列中，，，则______.【答案】【解析】由，得，因为，所以是以500为首项，1.1为公比的等比数列，所以，所以．故答案为：．14.已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为a，b，c是等差数列中的连续三项，所以，所以，则直线l的方程为，即，故直线过定点．由题意可知圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，因为直线恒过圆内的定点，所以的取值范围是，即，弦长是的减函数，故的最小值为当时取得，即，的最大值为当时取得，即，故的取值范围是．故答案为：.四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在数列中，，.（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）求的前项和.（1）证明：因为，所以.因为，所以，是以3为首项，2为公差的等差数列，则，故（2）解：由（1）可知，则.16.已知圆经过，两点，且圆心在直线：上.（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的两条切线，切点为，，求的值.解：（1）设圆心的坐标为，则，因为，是圆上的两点，所以，所以，即，由得即，则圆的半径，故圆的标准方程为；（2）因为，，所以，所以，则四边形的面积，因为过点作圆的两条切线，切点为，，所以，所以四边形的面积，解得.17.如图，在三棱柱中，，，，，，D是棱的中点．（1）证明：平面平面ABC．（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为，所以．因为，，所以，则，所以．因为，平面ABC，平面ABC，且，所以平面ABC．因为平面，所以平面平面ABC．（2）解：以A为坐标原点，AC，所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题中数据可知，，，，，则，，，．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则,令，得．设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．18.已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程.（2）直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于点.（i）若直线过点，且，求的值；（ii）若，求的值.解：（1）由题意可得，解得：，，则椭圆的标准方程为.（2）（i）直线：过点，解得：，即，由得，则.设，，则，所以，，即点的坐标为，则直线的方程为.由，得：，则.因为，所以，解得，（舍去）.（ii）当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，.由,得，则.因为，所以，则直线的方程为，同理可得，则.故.当直线，中一条直线斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，此时,综上，.19.定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且.（1）证明：是等比数列；（2）设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值；（3）若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，.（1）证明：证法一：由，则，则，所以，又，所以是以为首项，3为公比的等比数列.证法二：由，得，即，则，，则，即，，显然满足上式，则，所以，因为，所以，所以是以为首