河南省九师联盟2026届高三上学期第四次质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省九师联盟2026届高三上学期第四次质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，所以.故选：B.2.已知向量，，若，则（）A. B. C.4 D.9【答案】A【解析】因为，所以，解得，故选：A.3.已知复数满足，则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，故虚部为.故选：D.4.某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（）A.120种 B.360种 C.240种 D.720种【答案】C【解析】先将2位老师看作一个整体和4名学生全排有，2位老师自身有，所以2位老师相邻，不同的排法共有，故选：C.5.已知角的顶点为原点始边为轴的非负半轴，终边经过点则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由角终边经过点，得，所以，故选：B.6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】由和余弦定理，可得，即，由正弦定理得，又因为中，，，所以，即，所以或，即或，即是等腰三角形或直角三角形，故选：C.7.在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，由为的中点，得，在菱形中，，，所以，，所以，故选：D.8.已知数列满足，，若对，+，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，即，所以当时，，所以，也满足，所以，，所以恒成立，即，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，所以实数t的取值范围是，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，若，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由，结合正弦定理角化边可得：，故A对，由，结合大边对大角可得，故B对，因为函数在上单调递减，，所以，故C对，令，满足，而，故D错，故选：ABC.10.若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（）A.B.C.中最小D.使成立的最小正整数的值是4050【答案】ABD【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以，A对，由，，可知单调递增，又，所以，所以，B对，当时，，当时，，所以最小，故C错，因为为正项递增数列，且，所以使成立的最小正整数的值是4050，D对，故选：ABD.11.踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由题意知，故A错；由题意的可能取值为0,1，，所以，故B对，由题意知第次踢出毽子后，毽子没有传到乙的概率为，所以，故C对，由，得到，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，故D对，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的公差不为0，若，则______.【答案】14【解析】设等差数列的公差为，由得：，解得：，故答案为：14.13.已知函数的定义域为，若，，则______.【答案】3【解析】，则，故，所以的一个周期为4，所以，又中，令得，故，则.故答案为：3.14.某正六棱柱外接球的表面积为，则该正六棱柱的体积的最大值为______.【答案】【解析】正六棱柱外接球的球心是上下底面中心所连线段的中点，设外接球的半径为，则，得，设正六棱柱底面的边长为，侧棱长为，则底面正六边形的外接圆半径为，由题意：，所以正六棱柱的体积，令，所以，令，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以当时，取得最大值，所以正六棱柱的体积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）证明：；（2）若，，求的面积.（1）证明：由及正弦定理得，所以，又，所以，即；（2）解：因为，，，所以，又，所以，所以的面积.16.已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等比数列的公比为，由，，得，即，所以，由，当时，，所以，，当时，，满足上式，所以.（2）由（1）得，则，两边同时乘以2，得，两式作差得，所以.17.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，是边长为2的正三角形，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：连接，因为四边形是菱形，，所以为等边三角形，所以，均是边长为2的正三角形，取的中点，连接，则，因为，所以，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知两两垂直，所以以点为坐标原点，为轴建系，则，所以，设为平面的法向量，则，令得，即，设为平面的法向量，则，令，得，所以，所以，即平面与平面夹角的余弦值.18.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）过点的直线l与C交于M，N两点，且，求l的方程；（3）设C的焦点为是C上不同的三点，若，，求的值.解：（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以焦点到其准线的距离为，所以抛物线方程为；（2）设，因为M，N两点在抛物线上，所以，两式相减可得：，即，因为，所以点为M，N的中点，所以，又，所以，所以直线得方程为，即；（3）因为，所以，设，其中互不相等，则，由，得：，又，所以，①，又，所以，②①②得：，即，又，所以，所以.19.已知函数，，记的零点为.（1）求；（2）求数列中的最小项；（3）证明：.（1）解：当时，，定义域为，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以有唯一零点1，即；（2）解：由的零点为，得，两式相减得：，即，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以由，得到，所以，所以数列是递增数列，所以数列中的最小项是；（3）