分式方程课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

18.5分式方程第十八章分式知识点分式方程的概念知1－讲11.分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程.

知1－讲2.分式方程应满足的条件(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.以上三者缺一不可.知1－讲特别提醒识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形.知1－练例1

解题秘方：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据.不能约分后判断知1－练解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数.(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a为非零常数，不是未知数.知1－练

③⑤知2－讲知识点分式方程的解法21.解分式方程的基本思路去分母，把分式方程转化为整式方程.知2－讲2.解分式方程的一般步骤知2－讲3.检验分式方程解的方法知2－讲4.增根(拓展点)(1)分式方程的增根：将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解.若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根.知2－讲(2)产生增根的原因：在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是一个含未知数的式子，这个式子有可能为0.如果为0，那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解.知2－讲特别解读1.解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来.2.解分式方程可能产生使最简公分母为0的解，因此必须检验.知2－练

例2解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验得到分式方程的解.知2－练解：方程两边乘(x－4)(x－6)，得x(x－6)＝(x＋2)(x－4).解得x＝2.检验：当x＝2时，(x－4)(x－6)≠0.所以，原分式方程的解为x＝2.

知2－练解：方程两边乘x－3，得2－x＝－1－2(x－3)，解得x＝3.检验：当x＝3时，x－3＝0，因此x＝3不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.

注意符号不要漏乘-2知2－练

知2－练

A知2－练

解：方程两边乘2x-1,得x-2-(2x-1)=-1，解得x=0.检验：当x=0时，2x-1≠0.所以，原分式方程的解为x=0.知3－讲知识点分式方程的应用3列分式方程解决实际问题的一般步骤(1)审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量；(2)设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；(3)列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程；(4)解：解所列出的分式方程；知3－讲(5)验：既要检验所得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求；(6)答：写出答案.知3－讲知识链接列分式方程常用的等量关系：(1)行程问题：速度×时间=路程.(2)工程问题：工作量=工作时间×工作效率；总工作量=各个分工作量之和.(3)销售问题：总价=单价×销售量.知3－练某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72km，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12min后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度.例3知3－练思路导引：知3－练

知3－练3-1.[中考•长春]小吉和小林从同一地点出发跑800m，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40s到达终点.求小林跑步的平均速度.解：设小林跑步的平均速度为xm/s，则小吉的平均速度为1.25xm/s.根据题意，得8001.25x+40=800x，解得x=4.经检验，x=4是分式方程的解，且符合题意.答：小林跑步的平均速度为4m/s.知3－练某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合作，12天恰好完成；若两个队合作9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？例4知3－练解题秘方：列表分析如下：工作效率工作时间/天工作总量两个队合作

9

甲队

5

等量关系两个队合作9天的工作量＋甲队单独工作5天的工作量＝1知3－练

知3－练4-1.某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B.由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据.已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据(备注：GB为数据的存储单位).知3－练

知3－练

例5知3－练解题秘方：根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程.知3－练

知3－练5-1.某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球的单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元.A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？知3－练分式方程分式方程定义解法去分母，转化为整式方程解整式方程检验应用行程问题工程问题销售问题题型解含有字母系数的分式方程1

例6解题秘方：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同.需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件．

思路分析此题已明确x

为未知数，则a,b均为已知数，先找出最简公分母，然后去分母，化成整式方程求解.特别提醒方程两边除以(a+4b)前，要注意判断a+4b是不是等于0.题型巧解特殊的分式方程2

例7解题秘方：根据方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子的特点，将分子拆成两项，分别除以分母，消去分子中的未知数，然后进行求解.

技巧点拨解复杂的分式方程时，直接去分母计算相当麻烦，可观察分式的结构特征采取分组通分法，达到以下两种结果：(1)使左右两边分子相同，分母不相等，则只有分子的值为0时，分式方程才成立；(2)使左右两边分子是相等的非零常数，则只有分母相等时，分式方程才成立.题型分式方程解的应用3

例8解题秘方：将问题转化为解两个分式方程，其中一个不含字母，另一个含字母.类型1分式方程的同解问题

技巧点拨分式方程的同解问题的求解方法：先将其中不含待求字母的方程的解求出,再将该解代入另一个方程中,得到关于待求字母的方程,最后解方程并在检验后得出结论.

例9思路导引：类型2根据分式方程无解求字母的值

特别解读导致分式方程无解的情况有两种：(1)由于增根导致分式方程无解：求得的分式方程化成的整式方程的根是原分式方程的增根；(2)由于分式方程化成的整式方程无解导致分式方程无解：将分式方程通过去分母变成整式方程后，整式方程是ax=b(a=0，b

≠0)的形式.

例10思路导引：类型3根据分式方程解的正负求字母的取值范围解：方程两边乘x-3，得2x+a=x-3，解得x=-3-a.因为原方程的解是正数，所以-3-a>0，解得a<-3.又因为x-3≠0，所以-3-a-3≠0，解得a

≠-6.所以a<-3且a

≠-6.不要忽略分母不为0方法点拨根据分式方程的解的情况求字母取值范围的方法：在求分式方程中字母的取值范围时，通常要把分式方程转化为整式方程并求解，再根据题目中的条件列出不等式(组)求出字母的取值范围，要特别注意排除使分式方程分母为0的字母的值.

例11错解：方程两边乘2(x+3)，得4+3(x+3)=4，解得x=-3.正解：方程两边乘2(x+3)，得4+3(x+3)=4，解得x=-3.检验：当x=-3时，2(x+3)=0，因此x=-3不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.易错点解分式方程时忘记检验而出错1诊误区：因为在解分式方程时，有可能出现使最简公分母为0的解,所以检验是必要的步骤.如本题，易漏掉检验而误认为x=-3是原分式方程的解.

例12考法解分式方程1试题评析：本题考查了解分式方程，正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键.

例13考法根据分式方程解的情况求字母的值2试题评析：本题主要考查求不等式组的解集和解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a

的值，最后求和即可.

答案：B[中考·广州]智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘.例14考法列分式方程解决实际问题3解题秘方：本题考查列代数式和分式方程的应用，找准数量关系，列出分式方程求解.(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%，求用智能机器人采摘的成本是多少元(用含a的代数式表示)；解：用智能机器人采摘的成本是(1-30%)a=0.7a(元).(2)若要采摘4000kg该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.

D

B

B

则被墨水污染部分的文字为()A.这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个B.这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个C.这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个D.这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个D

A

-17.[新考向

数学文化]《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天.若设规定时间为x

天，则可列方程为_____________.

-14

解：方程两边乘(x+1)(x-1),得4+x2-1=x2-2x+1,解得x=-1.检验:当x=-1时,(x+1)(x-1)=0,因此x=-1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.11.[期末•北京通州区]周末小华踏上了在长安街延长线的游玩购物之旅.上午9:00，从通州区北苑万达广场出发，步行1650m，到达京杭府的爱琴海购物公园，在爱琴海购物公园购物游玩40min，然后骑共享单车行驶了300