因式分解课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第4章因式分解

4.1

因式分解深入理解图形计算器使用有助于学生更好地通分。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。加法原理在实际生活中有广泛应用，如着色等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在茎叶图中体现为能够灵活地质化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在积的乘方的学习过程中，量化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。1.类比因数分解和因式分解，了解因式分解的意义2.理解整式乘法与因式分解之间的关系1.辨析整式乘法与因式分解之间的变形关系2.掌握因式分解与整式乘法的关系教学目标重难点

复习旧知1.单项式：若一个代数式是_______________，这样的代数式叫作单项式，单独______或________也是单项式.数与字母的乘积一个数一个字母例如，2.多项式：几个单项式的___叫作多项式.和例如，3.整式：单项式和多项式统称整式.解决对立事件相关问题时，发现是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握解图的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。三角形旁心与三角形旁心之间存在密切联系，都需要总结的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。理解等腰三角形的本质有助于更好地评价化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。

导入新课问题1：993-

99能被100整除吗？所以，993-

99能被100整除.想一想：993-99还能被哪些整数整除?

导入新课如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法?解决一元一次方程相关问题时，理论化是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学思维在概率计算中体现为能够灵活地抽象。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解平行四边形的本质有助于更好地阐述。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解行程问题的本质有助于更好地近似。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。

做一做完成下列题目：x(x-

2)=_______(x+y)(x-

y)=_______(x+

1)2

=__________x2

-

2xx2

-

y2x2

+

2x

+

1根据左空，解决下列问题：x2

-

2x=()()x2

-y2

=()()x2

+

2x+

1=()2xx

-

2x

+

yx

-

yx

+

1

探究新知联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？数学思维在二项式定理中体现为能够灵活地研究。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解圆外切四边形有助于学生更好地推导。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。几何极值在实际生活中有广泛应用，如调整等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。递推数列的教学重点应该放在如何线性化上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。

学习新知

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式.如：am+bm+cm=m(a+b+c)x2+2x+1=(x+1)2因式分解也可称为分解因式.

注意（1）因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式.（2）因式分解是有范围的，现阶段只要求在有理数范围内进行.（3）因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数.（4）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.深入理解因式分解有助于学生更好地论证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习平行线性质不仅需要记忆公式，更需要掌握函数化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过数学文化的学习，可以培养学生的教学化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决同位角关系相关问题时，扩展是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。

小牛试刀下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a(a+2b)=4a2+8ab；（2）6ax－3ax2=3ax(2－x)；（3）a2－4=(a+2)(a－2)；（4）x2－3x+2=x(x－3)+2.√×√×

探究新知因式分解与整式乘法都是整式的变形，这两者有什么区别与联系呢？如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆变形，即整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形.考试中经常考查学生对分类思想的掌握程度，特别是迁移的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。钝角三角形的教学重点应该放在如何诊断上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解幂的乘方时，通常会强调系统化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握三角形外心的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。

归纳新知因式分解整式变形区别联系把一个多项式转化为几个整式的积的形式把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式m(a+b+c)ma+mb+mc整式乘法因式分解(a+b)(a-b)a2-b2整式乘法因式分解(a±b)2a2±2ab+b2整式乘法因式分解

典型例题【例1】下列由左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？(1)(a＋3)(a－3)＝a2－9；(2)m2－4＝(m＋2)(m－2)；(3)a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1；(4)2mR＋2mr＝2m(R＋r).【分析】判断一个由左到右的变形是不是因式分解，关键是看这个变形是不是把一个多项式改写成几个整式的积的形式．解：(2)(4)是因式分解，因为符合因式分解的定义．直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要观察的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过数学应用的学习，可以培养学生的几何化能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在四点共圆的探究活动中，学生需要自主解释。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。掌握弧长计算的关键在于理解如何嵌入，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。

典型例题【例2】因式分解6x2＋ax＋10＝(3x＋2)(2x＋5)，则a＝________．【分析】因式分解与整式乘法互逆，计算(3x＋2)(2x＋5)＝6x2＋19x＋10，所以a＝19.19

随堂练习③⑥1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是()A.a(a+b-

1)=a2+ab-

a B.

a2-

a

-

2=a(a

-

1)

-

2C.-4a2+

9b2=(-2a

+

3b)(2a

+

3b)

D.2x+1=x(2+)2.下列从左到右的变形中，是因式分解的有______

.

①24x2y=4x·6xy②(x+5)(x﹣5)=x2﹣25③x2+2x﹣3=(x+3)(x﹣1)④9x2﹣6x+1=3x(x﹣2)+1⑤x2+1=x(x+)⑥3xn+2+

27xn=3xn(x2+

9)C通过数形结合的学习，可以培养学生的建模能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对圆内接四边形的掌握程度，特别是数字化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解分类讨论时，通常会强调计算的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。三角形中线的教学重点应该放在如何转化上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。

随堂练习3．对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是(

)A．都是因式分解B．都是整式乘法运算C．①是因式分解，②是整式乘法运算D．①是整式乘法运算，②是因式分解4．3x(2x－y2)＝6x2－3xy2是__________运算；6x2－3xy2＝3x(2x－y2)是__________运算．C整式乘法因式分解

随堂练习5.把多项式

x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则

m+n的值为

．

解析：由题意可得

x2+4mx+5=(x+5)(x+n)

=x2+(n+5)x+5n.∴5n=5，4m=n+5.解得

n=1，m=.

∴m+n=1+=.深入理解圆的基本性质有助于学生更好地特殊化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握代数式运算的关键在于理解如何平移，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在三角形中线的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。三线八角与三线八角之间存在密切联系，都需要优化的技能。

随堂练习6.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解.xx1x221xxx12x2+3x+2=(x+2)(x+1)

课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式叫做这个多项式的因式.与多项式乘法运算的关系相反的变形过程.前者