导数及其应用

导数及其应用

【专题要点】

1.导数的定义:利用导数的定义解题；

2.求导数（包括求导函数和某一点的导数）；

3.导数的简单应用，包括求函数的极值,求函数的单调区间，证明函数的单调性等,复现率较高；

4.导数在实际问题中的应用（利润最大,用料最省,效率最高等优化问题）；

5.综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中

的切线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：

<1）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及

含参数的不等式、不等式的恒成立的求解；

（2）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉及求极值和

极值点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；

（3）利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题：

（4）通过构造函数，以导数为工具证明不等式；

（5）导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察综合能力的

一个方向。

【考纲要求】

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一

点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

⑵熟记根本导数公式（CVY〃为有理数），sinx.cosklog,九优,d,lnx的导数）.掌握两个函数

四则运算的求导法则和里合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

｛导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.

【知识纵横】

【教法指引】

（1）近儿年各地高考题一直保持对导数知识考查力度，表达r在知识网络交汇点出题的命题风格，

重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题复习的主线，在复习中应

以此为根底展开，利用问题链向学生展示题目间的内在联系，揭示解题的通法通解，如讲解利用导数处

理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：函数求单调区间一知函数在区间上单调求参数一假设函

数不单调如何求参数.

（2）要认识到新课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，在

复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用不仅表达在导数为

解决函数问题提供了有效途径，还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻

理解和直观认识。

（3）在教学中有意识的与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次

函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和

解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大［小）值问题。

【典例精析】

1.导数定义的应用

例1（2023北京高考）如图，函数/（x）的图象是折线段A8C,其中AB,C的坐标分别为

/(l4r)-/(l)

(0,4),(2,0),(6,4),lim+

Ar->0

r2m"导数的定义

F-：由图可知/(x)=・

知所川+囱一/⑴

=r(0=-2.

&v-*0AJ；

例2(2006重庆高考)函数/'卜)=(/+h1+。〉\其中〃,0£火，(1)略，(11)假设从且

lim"*c=4,试证：-6WZ?K2.

X>0X

解：/'(x)=(/+3+2)X+〃+C>X,易知/(o)=c.故

lun——=lun八，_=f(())=/?4-c,

XTOXXTOX-0

8+c=4

所以,/、解得-64力K2.

h2<4(c-1),

2.利用导数研究函数的图像

例312023安徽高考)设aVI：,函数?=*一〃)2&-力的图像可能是

解：=(x-a)(3x-2a-b),由_/=0得x=a,x=卫U,・••当工=。时，y取极大值0,当

3

/二生吆时)，取极小值且极小值为负.应选c.或当x＜〃时)，＜0,当时，)，＞0选二

3

点评:通过导数研究函数图像的变化规律，也是考试的热点题型.

例4(2023年湖南卷)假设函数)，=/*)的号喀数在区间［凡切上是增函数，

那么函数＞=/(x)在区间团,勿上的图象可能是

A.B.C.D.

解：因为函数y=/(x)的号/数y=/'(x)在区间句上是增函数,即在区间船上各点处函数

的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭.由图易知选A.

点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念一一函数的变化率以及图像的变化规律，

是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学

所学的初等数学知识.这也是近年来高考命题的一大特色.

3.利用导数解决函数的单调性问题

例5(2023全国高考)函数/(工)=/+01=+x+l,«GR.

（I）讨论函数/（x）的单调区间;

（II）设函数/3）在区间内是减函数，求〃的取值范围.

解：(1)/(x)=A?+a1二+工+|求导得/〈X)=3/+2ar+l

当。2工3时，△4（），/z（x）>0,/（x）在R上递增;

当/>3,/。）=0求得两根为工二一一；一，

即/*）在（一8,上应三3］递增，j士二3,士正巨］递减，（卫五H,+oo］递

3333

\/\Z\/

增。

［2）因为函数/（X）在区间（一（,-；）内是减函数，所以当/时/'（工）40恒成立，结合

<0

二次函数的图像可知《解得a>2.

<0

点评：函数在某区间上单调转化为导函数尸（x）NO或r（x）W0在区间上恒成立问题，是解决这类问

解.

【变式1】（2004年全国高考）假设函数/（"二!/一1奴2一（4一］卜+1在区间。4）上是减函数，在

32

区间（6,4W）上是增函数，求实数〃的取值范围.

解：/（x）=/一av+（〃一I）,令广（x）=（）得%=1或x=。一1,结合图像知4"。一1<6,故［5,7］.

点评：此题也可转化为广（x）W0,x£（1,4）恒成立且广⑴之0,工£（6,包）恒成立来解.

【变式2］（2005年湖南高考）函数/（6=1］］不一！以2-2乂4工0）存在单调递减区间，求a的取值范围:

i4rz._i

解：/'(6u)=—―^-2=-———匚.因为函数:(x)存在单调递减区间，所以r(x)<0在

xx

(0,+8)上解，从而0?+2工一1>0有正解..

①当。>0时，y=a/+2x+l为开口向上的抛物线，ad+2工一]>()总有正解；

②当。<0时，丁=4公+2x+l为开口向下的抛物线，要使依2+2x—1>0总有正解，那么

△=4+4a>0,解得一1vav().

综上所述，a的取值范围为(-l,0)U(0,48).

【变式3M2023浙江高考)函数f(x)=x3+(\-a)x2-a(a+2)x+b(a,〃£R).假设函数f(x)在区

间(一1,1)上不单崛，求〃的取值范围.

解：函数/*)在区间(-1,1)不单调，等价于:(x)=0在区间(7,1)上有实数解，且无重根.

Xf(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),由")=0,得/=。,修=一'芋。从而

,。+2,

-1<<7<1,-1<------<1,-1<6Z<1,-5<«<1,

!解得，

<a+2或<1或・1

a声---a+2aw——,a工——,

3a。------.22

3

所以。的取值范围是(一5,-g

点评；这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分表达高考“能力立意”的思想，高考中应高

度重视。

(4)利用导数的几何意义研究曲线的切线问题

例6(2023江西高考)假设存在过点(1,0)的直线与曲线y=F和),=ar2+"x—9都相切，那么。等

4

于

25217257

A.一1或一上B.-1或巴C.—乙或一二D.—上或7

6444644

解：设过(1,0)的直线与y=V相切于点(%,与3),所以切线方程为5一%3=3/2(上一两)

即)，=3%5-2/3,又(1,0)在切线上，那么%=0或%=一/，

15os

当天=()时，由y=0与---工一9相切可得。二一二，

464

3?727IS

当与=一耳时，由丁二彳工一^-与y=ar2+]R-9相切可得〃=-1,所以选A.

点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁〃，在做题中往往需要设

出切点.

【变式】(2023辽宁高考)设P为曲线C：y=f+2工+3上的点，且曲线C在点。处切线倾斜角的取

yr

值范围为0,-,那么点P横坐标的取值范围为（）

_4_

A.-1»—B.［-1。］C.［。,1］D.—,1

22

解：由曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为（）,：，可得曲线。在点P处切线的斜率范围为［0,1］，

又），'=2x+2,设点。的横坐标为与，那么0<2%+2<1,解得—IW/W-g,应选4.

5.利用导数求函数的极值与最值

例7（2023天津卷理）函数/*）=。2+01-2/+34/。£宠）,其中4£/?

（1）当〃=（）时，求曲线y=/（x）在点（1J⑴）处的切线的斜率：

2

（2）当时，求函数/（幻的单调区间与极值。

⑴解：当4=00寸，/（x）=Y",f（x）=（x2+2x）e\故/'⑴=3«.

所以曲线y=/*）在点（1J（D）处的切线的斜率为3e.

（II）解：/（1）=［2+（。+2口-2"+4〃卜.

以下分两种情况讨论。

2

（1）若。>］，那么一2。<〃一2.当x变化时，/'（幻，/（工）的变化情况如下表：

X(-co,-2d)-2a(-2〃，〃-2)a-2(4-2,+co)

+0——0+

/极大值X极小值/

2

（2）若。<§，那么—2a>〃—2,当工变化时，/'（X）,/（x）的变化情况如下表:

X(-co,a-2)a-2(a-2,-2a)-2ci(-2a,+8)

+0——0+

/极大值极小值/

点评：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等根底知识，

考查运算能力及分类讨论的思想方法。

例812023年天津高考）^fM=x4+^+2x2+bIxeR）,其中R.假设函数/（x）仅在

x=O处有极值，求。的取值范围.

解：/"）=工（4/+3以+4）,显然x=O不是方程4/+3奴+4=0的根.

为使/（工）仅在x=O处有极值，必须4/+3办+420成立，即有△=9储-64<0.

QQQQ

解不等式，得一这时，/(0)二)是唯一极值.因此满足条件的。的取值范围是

6.利用导数解决实际问题

例9用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1,问该长方体

的长、宽、而各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

解：设长方体的宽为1(m),那么长为2x(m),高为〃=4.5—3x(m)(0<工<|1

故长方体的体积为V(x)-2x2(4.5_3x)-9--6x3(/n3)

从而V")=18工一18/(4.5-3工)=18工(1一人).令丫(。=0,解得x=0(舍去)或x=l,因此x=l.

当Ovxvl时，V'(x)>0；当l<x<|时，V'(x)<0,故在x=l处V(x)取得极大值，并且这个极

大值就是V(x)的最大值，从而最大体积V=V'(x)=9xl2-6x/(加•)此时长方体的长为2m,高为

1.5m

例10(2023年湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距用米，余下工程只需要建两端

桥