高中北师大版数学必修3课件：2.1算法的基本思想

第二章算法初步§1算法的基本思想

算法的含义与作用(1)算法的含义：在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.(2)算法的作用：算法是解决某类问题的一系列步骤与程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决.一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的.【思考】(1)算法与解法有什么区别与关系？提示：①区别：解法是解决某一个问题的一种方法，具有局限性.算法是解决一类问题的步骤，具有普遍性.②联系：算法与解法之间是一般与特殊、抽象与具体的关系.

(2)算法有哪些特征？提示：①确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果.②有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题.③有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步.④不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法.⑤普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)算法执行后一定产生确定的结果. (

)(2)算法只能解决一个问题，不能重复使用. (

)(3)算法就是某个问题的解题过程. (

)提示：(1)√.由算法特征知算法具有确定性.(2)×.算法能解决一类问题且能重复使用.(3)×.算法不能等同于解法.2.下列可以看作算法的是 (

)A.学习数学时，课前预习，上课认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题B.今天餐厅的饭真好吃C.这道数学题难做D.方程2x2-x+1=0无实数根【解析】选A.A是学习数学的一个步骤，是算法.3.下列不属于算法特征的是 (

)A.普遍性B.确定性C.有限性D.唯一性【解析】选D.算法具有确定性、有限性、有序性、普遍性和不唯一性.类型一算法的概念【典例】1.下列对算法的理解不正确的是(

)A.一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B.算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤C.算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果D.一个问题只能设计出一个算法2.已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b，求斜边c的一个算法分为以下三步：①计算c=；②输入直角三角形的两条直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值.其中正确的顺序是 (

)A.①②③

B.②③①

C.①③②

D.②①③【思维·引】结合算法的概念及特征，进行分析作出判断.【解析】1.选D.选项判断原因分析A√算法的有限性指包含的步骤是有限的B√算法是由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤C√算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果D×对于同一个问题可以有不同的算法2.选D.已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b，求斜边c的一个算法步骤应该是②①③.【内化·悟】如何判断是否是算法？提示：解决某些问题的一系列可操作或计算的步骤，才能称作算法，否则不是算法.【类题·通】理解算法的关键点(1)算法的性质：算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想.(2)算法的关键：判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步骤之内完成.【习练·破】下列关于算法的说法，正确的个数有 (

)①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错.【加练·固】以下对算法的描述正确的有 (

)①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地一步一步地进行，总能得到结果.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.根据算法的概念及特征，对算法的描述，①对某一类问题都有效，正确；②算法可执行的步骤必须是有限的，正确；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义，正确；④算法是一种通法，具有普遍性，只要按部就班一步一步地进行，总能得到结果，正确.即四种对算法的描述都正确.类型二算法的设计与应用【典例】1.给出下面一个算法：1.给出三个数x，y，z.2.计算M=x+y+z.3.计算N=M.4.得出每次计算结果.则上述算法是 (

)A.求和B.求余数C.求平均数 D.先求和再求平均数2.如下算法：1.输入x的值.2.若x≥0，则y=x.3.否则，y=x2.4.输出y的值.若输出的y值为9，则x的值是 世纪金榜导学号(

)A.3

B.-3

C.3或-3

D.-3或9【思维·引】分析算法的每一步及其作用，一步一步实施，得出结论.【解析】1.选D.由算法过程知，M为三数之和，N为这三数的平均数.2.选D.根据题意可知，此为分段函数y=的算法，当x≥0时，x=9；当x<0时，x2=9，所以x=-3.综上所述，x的值是-3或9.【内化·悟】算法的设计及应用的关键是什么？提示：关键是结合算法特征设计算法步骤，明确各个步骤的作用.【类题·通】1.设计一个具体算法的步骤(1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法.(2)借助有关变量或参数对算法加以表述.(3)将解决问题的过程划分为若干步骤.(4)用简单的语言将步骤表示出来.2.直接应用数学公式的算法的步骤(1)弄清算法要解决的问题是什么，需要用到哪些公式.(2)明确公式中需要哪些量，题目中已知什么量，还需知道哪些中间量.(3)优先解决中间量.(4)套用公式，并用简洁的语言描述出来.【习练·破】写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.【解析】方法一：算法步骤如下：1.移项得x2-2x=3.①2.①两边同加1并配方得(x-1)2=4.②3.②两边开方得x-1=±2.③4.解③得x=3或x=-1.方法二：1.计算方程的判别式并判断其符号：Δ=(-2)2+4×3=16>0；2.将a=1，b=-2，c=-3代入求根公式x=得x1=3，x2=-1.类型三算法的应用【典例】各种比赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分，若要找出最高分，试设计一个算法. 世纪金榜导学号【思维·引】设计一个算法，逐一进行比较找出最大值.【解析】算法如下：1.先假定第一个为“最高分”；2.将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就假定这个分数为“最高分”；否则“最高分”不变；3.如果还有其他分数，重复第二步；4.一直到没有可比的分数为止，这时假定的“最高分”就是所有评委打分中的最高分.【内化·悟】设计一个具体问题的算法，要注意什么？提示：设计一个具体问题的算法，要注意对具体问题仔细研究，分析解决问题的步骤.

【类题·通】对于实际问题，首先要建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法，在设计算法时应简练、清晰、严谨.【习练·破】试设计一个判断圆(x-a)2+(y-b)2=r2与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为零)位置关系的算法.【解析】算法步骤如下：1.输入圆心的坐标(a，b)、半径r和直线方程的系数A，B，C.2.计算z1=Aa+Bb+C.3.计算z2=A2+B2.4.计算d=5.如果d>r，则输出“相离”；如果d=r，则输出“相切”；如果d<r，则输出“相交”.【加练·