小学数学追及问题专项练习题解析

小学数学追及问题专项练习题解析在小学数学的应用题中，追及问题是行程问题的一个重要分支，它不仅考察学生对速度、时间和路程三者关系的理解，更能锻炼逻辑思维和分析问题的能力。这类问题往往因为涉及两个或多个运动物体，且运动方向相同但速度不同，初学者容易感到困惑。本文将通过对典型追及问题的解析，帮助同学们掌握解决此类问题的核心方法与技巧，理清思路，化繁为简。一、追及问题的基本概念与核心公式追及问题的本质是研究两个物体在同一直线上同向运动时，速度快的物体如何追上速度慢的物体的问题。解决追及问题，首先要明确几个核心要素：1.速度差：这是追及问题的灵魂。指的是快的物体与慢的物体之间的速度差值。正是因为存在速度差，才有追上的可能性。2.追及路程（路程差）：指的是当追及开始时，两个物体之间的距离。这个距离就是快的物体需要多跑出来的路程，才能追上慢的物体。3.追及时间：指的是从追及开始到追上所用的时间。我们知道行程问题的基本公式是：路程=速度×时间。在追及问题中，当快的物体追上慢的物体时，两者所行驶的路程存在这样的关系：快物体行驶的路程=慢物体行驶的路程+追及路程（初始路程差）将路程用“速度×时间”表示，可以得到：快速度×追及时间=慢速度×追及时间+追及路程通过移项整理，可以得到追及问题最核心的公式：追及时间=追及路程÷（快速度-慢速度）即：追及时间=追及路程÷速度差这个公式清晰地揭示了追及时间、追及路程和速度差三者之间的关系，是解决追及问题的关键。二、典型例题解析（一）基本型：已知追及路程和速度，求追及时间例题1：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲在前，乙在后。甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。已知甲出发时，乙距离甲100米。问：乙出发后多少分钟能追上甲？分析：这是一道最基础的追及问题。首先要明确：追及路程（初始路程差）：题目中直接给出“甲出发时，乙距离甲100米”，由于是同向而行，乙在后面追甲，所以这个100米就是追及路程。甲的速度：60米/分钟乙的速度：80米/分钟速度差：乙的速度-甲的速度=80-60=20（米/分钟）。这意味着每分钟乙能比甲多走20米，也就是每分钟能缩短与甲的距离20米。要求的是追及时间，根据核心公式：追及时间=追及路程÷速度差。解答：速度差：80-60=20(米/分钟)追及时间：100÷20=5(分钟)答：乙出发后5分钟能追上甲。（二）隐含型：追及路程需要间接求出例题2：小明和小红从学校出发去图书馆，小明步行，每分钟走50米，他出发5分钟后，小红骑自行车以每分钟150米的速度去追小明。问：小红出发后多少分钟能追上小明？分析：这道题中，追及路程不是直接给出的。我们来梳理一下：小明先出发5分钟，速度是50米/分钟。小红后出发，速度是150米/分钟。当小红出发时，小明已经走了一段路程了。这段路程就是小红出发时，两人之间的距离，也就是追及路程。所以，首先要求出小明在这5分钟内走了多远：路程=速度×时间=50×5=250(米)。这250米就是小红要追及的路程。接下来，计算速度差：小红的速度-小明的速度=150-50=100(米/分钟)。解答：小明先走的路程（追及路程）：50×5=250(米)速度差：150-50=100(米/分钟)追及时间：250÷100=2.5(分钟)答：小红出发后2.5分钟能追上小明。（三）稍复杂型：涉及中途休息或变速（简单变速）例题3：一辆货车以每小时40千米的速度从A地开往B地，开出2小时后，一辆客车以每小时60千米的速度也从A地开往B地。客车出发后，货车因故障停留了1小时，然后继续以原速前进。问：客车出发后多少小时能追上货车？分析：这道题比前两道复杂一些，因为货车中途停留了1小时。我们需要仔细分析两车行驶的时间和路程关系。首先，货车先出发2小时，速度40千米/小时。然后客车出发。客车出发时，货车已经行驶了：40×2=80(千米)。这是初始的路程差。但是，客车出发后，货车行驶了一段时间就停留了1小时。我们设客车出发后经过t小时追上货车。在这t小时内：客车一直在行驶，行驶的路程是：60×t千米。货车呢？它在客车出发后，先行驶了一段时间，然后停留了1小时。那么货车实际行驶的时间是(t-1)小时（因为停留的1小时没有行驶）。所以货车行驶的路程是：40×(t-1)千米。当客车追上货车时，两车行驶的路程相等（因为客车是从A地出发追货车，追上时两车与A地的距离相同）。或者从路程差的角度看，客车比货车多行驶了最初的80千米。所以可以列出方程：客车行驶路程=货车行驶路程+初始路程差即：60t=40(t-1)+80解答：设客车出发后经过t小时追上货车。客车行驶路程：60t千米货车在客车出发后行驶的时间：(t-1)小时货车行驶路程：40(t-1)千米初始路程差（客车出发时货车已行驶路程）：40×2=80千米根据追及时路程关系：60t=40(t-1)+8060t=40t-40+8060t-40t=4020t=40t=2答：客车出发后2小时能追上货车。另一种思路（算术法）：客车出发时，货车在前方80千米。客车速度60km/h，货车速度40km/h。如果货车不休息，客车追上货车需要的时间是：80÷(60-40)=4小时。但现在货车停留了1小时，这1小时货车没有前进，而客车在前进，这1小时客车能缩短与货车的距离60×1=60千米。或者说，相当于货车“主动”把路程差减少了60千米。所以原本需要追80千米，因为货车停留1小时，实际需要追的路程差变成了80-60=20千米。此时速度差还是20km/h，所以追及时间是20÷20=1小时？不对，这里容易混淆。还是回到第一种方程解法，方程法在解决稍复杂问题时更清晰不易出错。通过解方程得到t=2小时，是正确的。算术法需要更灵活的思维，需要考虑到停留时间对路程差的影响。三、解题小结与方法归纳通过以上例题的分析，我们可以总结出解决追及问题的一般步骤和方法：1.仔细审题，明确运动状态：辨明是同向运动的追及问题。找出题目中的已知条件：各个物体的速度、出发时间、出发地点、是否有停留等。2.确定追及路程（初始路程差）：这是解决问题的关键之一。追及路程是指追及开始的瞬间，两个物体之间的距离。它可能直接给出，也可能需要通过“先走一段时间”等方式间接计算得出。3.计算速度差：速度差=快物体的速度-慢物体的速度。这是追及问题中“追”的动力来源。4.找准追及时间对应的路程关系：*基本公式：追及时间=追及路程÷速度差。此公式适用于追及过程中两者都在匀速运动，没有停留或变速的情况。*对于有停留、变速或者更复杂的情况，可以考虑使用方程法。设追及时间为未知数t，根据“追上时，快物体行驶的路程=慢物体行驶的路程+初始路程差”（或根据题目具体情境列出路程相等的关系式），解方程求出t。5.作答并检验：求出结果后，要养成检验的习惯，看结果是否符合题意。四、练习题与拓展思考练习题1：哥哥和弟弟在操场的环形跑道上跑步，两人同时同地同向出发。哥哥每分钟跑300米，弟弟每分钟跑250米，跑道一圈长400米。问：哥哥出发后多少分钟第一次追上弟弟？（提示：环形跑道上的追及，第一次追上时，快的比慢的多跑了一圈的长度。）练习题2：一辆摩托车以每小时50千米的速度追赶前面同方向行驶的汽车。汽车每小时行40千米，摩托车出发时，汽车已经行驶了15千米。摩托车需要多长时间才能追上汽车？拓展思考：如果在追及问题中，快的物体追上慢的物体后