中职数学绝对值专题讲义及练习题

中职数学绝对值专题讲义及练习题这里需要注意的是，当`a`是负数时，`-a`表示的是`a`的相反数，此时它是一个正数。例如，若`a=-3`，则`|a|=|-3|=-(-3)=3`。1.2绝对值的几何意义如前所述，绝对值的几何意义就是：数轴上表示数`a`的点与原点（表示0的点）之间的距离。这个距离是一个非负的数值。例如：*`|5|`表示数轴上表示5的点到原点的距离，这个距离是5。*`|-3|`表示数轴上表示-3的点到原点的距离，这个距离是3。*`|x|=2`表示数轴上到原点距离等于2的点所表示的数，这样的点有两个，即2和-2。理解绝对值的几何意义，对于我们解决与距离、范围相关的绝对值问题（如绝对值方程和不等式）非常有帮助。它能让我们从图形的角度直观地把握问题的本质。二、绝对值的性质掌握绝对值的基本性质，是进行绝对值运算和解决相关问题的基础。以下是绝对值的一些重要性质：1.非负性：对于任意实数`a`，都有`|a|≥0`。也就是说，任何数的绝对值都是非负数，最小的绝对值是0（当且仅当`a=0`时取得）。*例如：`|5|=5≥0`，`|-3|=3≥0`，`|0|=0`。2.互为相反数的两数绝对值相等：对于任意实数`a`，都有`|a|=|-a|`。因为数轴上`a`和`-a`到原点的距离是相同的。*例如：`|3|=|-3|=3`，`|-x|=|x|`。3.绝对值与本身、相反数的关系：*若`|a|=a`，则`a≥0`。（一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是非负数）*若`|a|=-a`，则`a≤0`。（一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是非正数）*例如：若`|x|=x`，则`x`是0或正数；若`|y|=-y`，则`y`是0或负数。4.绝对值的平方等于该数的平方：对于任意实数`a`，都有`|a|²=a²`。这是因为正数和负数的平方都是正数，而0的平方是0。*例如：`|3|²=3²=9`，`|-3|²=(-3)²=9`。5.绝对值的运算性质（乘法与除法）：*`|a·b|=|a|·|b|`：两个数乘积的绝对值，等于这两个数绝对值的乘积。*例如：`|2×(-3)|=|-6|=6`，而`|2|×|-3|=2×3=6`，两者相等。*`|a/b|=|a|/|b|`（其中`b≠0`）：两个数商的绝对值，等于这两个数绝对值的商。*例如：`|(-6)/2|=|-3|=3`，而`|-6|/|2|=6/2=3`，两者相等。注意：绝对值对于加法和减法没有类似乘法和除法的直接性质，即`|a+b|`不一定等于`|a|+|b|`，`|a-b|`也不一定等于`|a|-|b|`。例如`|3+(-2)|=|1|=1`，而`|3|+|-2|=5`，显然1≠5。三、绝对值的运算绝对值的运算主要包括化简含有绝对值的式子以及进行绝对值的加减乘除运算。其核心在于根据绝对值内代数式的符号，正确地去掉绝对值符号。3.1化简绝对值化简绝对值的关键是判断绝对值符号内的数或代数式的正负性。如果能确定其正负，就可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号。例题1：化简下列各式：(1)`|5|`(2)`|-3.2|`(3)`|0|`(4)若`x<0`，化简`|x|`(5)若`a>1`，化简`|a-1|`(6)若`b<2`，化简`|b-2|`解答：(1)`|5|=5`(正数的绝对值是它本身)(2)`|-3.2|=3.2`(负数的绝对值是它的相反数)(3)`|0|=0`(0的绝对值是0)(4)因为`x<0`，所以`|x|=-x`(负数的绝对值是它的相反数)(5)因为`a>1`，所以`a-1>0`，因此`|a-1|=a-1`(正数的绝对值是它本身)(6)因为`b<2`，所以`b-2<0`，因此`|b-2|=-(b-2)=2-b`(负数的绝对值是它的相反数)例题2：已知`x=-2`，求`|x+1|-|x-1|`的值。解答：当`x=-2`时：`x+1=-2+1=-1`，所以`|x+1|=|-1|=1``x-1=-2-1=-3`，所以`|x-1|=|-3|=3`因此，`|x+1|-|x-1|=1-3=-2`3.2含绝对值的加减运算进行含绝对值的加减运算时，一般先分别求出各绝对值的值，再进行加减。例题3：计算：(1)`|3|+|-5|`(2)`|-4|-|2|`(3)`|0.5|+|-0.5|-|-3|`解答：(1)`|3|+|-5|=3+5=8`(2)`|-4|-|2|=4-2=2`(3)`|0.5|+|-0.5|-|-3|=0.5+0.5-3=1-3=-2`四、绝对值方程绝对值方程是指含有绝对值符号的方程。解绝对值方程的基本思路是根据绝对值的定义和性质，去掉绝对值符号，将其转化为我们熟悉的一元一次方程来求解。4.1形如`|x|=a`的方程根据绝对值的几何意义，`|x|=a`表示数轴上到原点距离为`a`的点所对应的数。*当`a>0`时，方程`|x|=a`有两个不相等的实数根：`x=a`和`x=-a`。*当`a=0`时，方程`|x|=a`有一个实数根：`x=0`。*当`a<0`时，因为绝对值是非负的，所以方程`|x|=a`没有实数根。例题4：解方程：(1)`|x|=4`(2)`|x|=0`(3)`|x|=-2`解答：(1)因为`4>0`，所以方程`|x|=4`的解为`x=4`或`x=-4`。(2)方程`|x|=0`的解为`x=0`。(3)因为`-2<0`，任何数的绝对值都不可能是负数，所以方程`|x|=-2`无解。4.2形如`|ax+b|=c`的方程这种类型的方程可以看作是`|X|=c`，其中`X=ax+b`。解法类似，先讨论`c`的取值范围，再去掉绝对值符号。*当`c>0`时，方程`|ax+b|=c`可化为两个一元一次方程：`ax+b=c`或`ax+b=-c`，分别求解。*当`c=0`时，方程`|ax+b|=c`可化为`ax+b=0`，解此方程即可。*当`c<0`时，方程`|ax+b|=c`无解。例题5：解方程`|2x-1|=3`解答：因为`3>0`，所以原方程可化为：`2x-1=3`或`2x-1=-3`解第一个方程：`2x-1=3``2x=3+1``2x=4``x=2`解第二个方程：`2x-1=-3``2x=-3+1``2x=-2``x=-1`所以，原方程的解为`x=2`或`x=-1`。例题6：解方程`|3x+6|=0`解答：原方程可化为`3x+6=0``3x=-6``x=-2`所以，原方程的解为`x=-2`。五、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。解绝对值不等式的思路也是根据绝对值的几何意义或性质，去掉绝对值符号，转化为常规的不等式来求解。5.1形如`|x|<a`或`|x|>a`的不等式(a>0)根据绝对值的几何意义：*`|x|<a`(a>0)表示数轴上到原点的距离小于`a`的所有点的集合，即`-a<x<a`。*`|x|>a`(a>0)表示数轴上到原点的距离大于`a`的所有点的集合，即`x<-a`或`x>a`。例题7：解不等式：(1)`|x|<3`(2)`|x|>2`解答：(1)`|x|<3`的解集为`-3<x<3`。(2)`|x|>2`的解集为`x<-2`或`x>2`。5.2形如`|ax+b|<c`或`|ax+b|>c`的不等式(c>0)同样，我们可以将`ax+b`看作一个整体`X`。*对于`|ax+b|<c`(c>0)，可化为`-c<ax+b<c`，然后求解这个连不等式。*对于`|ax+b|>c`(c>0)，可化为`ax+b<-c`或`ax+b>c`，然后分别求解这两个不等式，最后取它们的并集。例题8：解不等式`|2x-1|<5`解答：原不等式可化为`-5<2x-1<5`不等式各项同时加1：`-5+1<2x<5+1`即`-4<2x<6`不等式各项同时除以2：`-2<x<3`所以，原不等式的解集为`-2<x<3`。例题9：解不等式`|3x+6|>3`解答：原不等式可化为`3x+6<-3`或`3x+6>3`解第一个不等式：`3x+6<-3``3x<-3-6``3x<-9``x<-3`解第二个不等式：`3x+6>3``3x>3-6``3x>-3``x>-1`所以，原不等式的解集为`x<-3`或`x>-1`。注意：当`c≤0`时，*`|ax+b|<c`无解，因为绝对值总是非负的，非负的数小于一个负数是不可能的。*`|ax+b|>c`的解集为全体实数，因为任何数的绝对值都大于或等于0，而0总是大于负数。如果`c=0`，则`|ax+b|>0`表示`ax+b≠0`。六、练习题基础巩固一、填空题1.`|-5|=`______，`|0|=`______，`|3.7|=`______。2.若`|x|=7`，则`x=`______。3.若`|a|=a`，则`a`是______数（填“正”、“负”或“非负”）。4.若`|b-3|=0`，则`b=`______。5.比较大小：`-|-2|`__