新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大九年级数学下册知识点总结九年级数学下册的内容是初中数学知识体系的重要组成部分，涵盖了几何中的圆、代数中的二次函数以及概率等核心内容。这些知识不仅是中考的重点，也为高中数学的学习奠定了坚实基础。为帮助同学们系统梳理和巩固所学知识，特整理本知识点总结。第一章圆圆是平面几何中最完美的图形之一，具有丰富的性质和广泛的应用。本章主要研究圆的基本概念、性质以及与圆相关的位置关系和计算。1.1圆的基本概念*圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径。从集合观点看，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。*点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：*点在圆外⇨d>r*点在圆上⇨d=r*点在圆内⇨d<r*与圆有关的概念：*弦：连接圆上任意两点的线段。*直径：经过圆心的弦，是圆中最长的弦。直径等于半径的两倍。*弧：圆上任意两点间的部分。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。*半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。*等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的圆是等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。1.2圆的对称性*圆的旋转对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。*圆的轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线（直径所在的直线）。1.3垂径定理及其推论*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。*此定理可理解为：一条直线若满足①过圆心（直径）、②垂直于弦，则它③平分弦、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧。*垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。*注意：被平分的弦不能是直径，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。*垂径定理及其推论是解决与弦长、弦心距（圆心到弦的距离）、半径相关计算问题的重要依据。常用辅助线是过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。1.4圆心角、弧、弦之间的关系*圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。*定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。*推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。*即：在同圆或等圆中，圆心角相等⇨弧相等⇨弦相等。（知一推二）1.5圆周角*圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。*圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。*圆周角定理的推论：*推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。*推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（此推论是判断直角三角形的一个重要方法，也常用于构造直角三角形解决问题）*推论3：圆内接四边形的对角互补。（即圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角）1.6点和圆、直线和圆的位置关系*点和圆的位置关系：（见1.1，略）*直线和圆的位置关系：*相离：直线和圆没有公共点。此时圆心到直线的距离d>半径r。*相切：直线和圆有唯一公共点（这个点叫做切点）。此时圆心到直线的距离d=半径r。这条直线叫做圆的切线。*相交：直线和圆有两个公共点（这两个点叫做交点）。此时圆心到直线的距离d<半径r。这条直线叫做圆的割线。*切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（两个条件缺一不可：①经过半径外端；②垂直于半径）*切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。*切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（切线长是指从圆外一点到切点之间的线段的长度）1.7正多边形和圆*正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。*正多边形与圆的关系：把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各分点，就可以作出一个正n边形。这个圆叫做正n边形的外接圆，正n边形叫做圆的内接正n边形。*正多边形的中心、半径、中心角、边心距：*中心：正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心。*半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。*中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的每个中心角都等于360°/n。*边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。（边心距是正多边形内切圆的半径）*正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。偶数边的正多边形也是中心对称图形，其对称中心是正多边形的中心。1.8弧长和扇形面积*弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l=(nπR)/180*扇形面积公式：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S的计算公式为：*S_扇形=(nπR²)/360或S_扇形=(1/2)lR（其中l为扇形的弧长）*圆锥的侧面积和全面积：*圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。*连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。圆锥的母线长都相等。*圆锥的侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径等于圆锥的母线长L，弧长等于圆锥底面圆的周长2πr。*圆锥的侧面积S_侧=πrL（其中r为圆锥底面半径，L为圆锥母线长）*圆锥的全面积S_全=S_侧+S_底=πrL+πr²第二章二次函数二次函数是初中阶段学习的最后一种基本初等函数，也是最重要的函数之一，其图像和性质的应用非常广泛。2.1二次函数的概念*二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。*注意：二次函数的二次项系数a不能为0，这是判断一个函数是否为二次函数的关键。2.2二次函数的图像与性质*二次函数的图像：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线。*抛物线的开口方向：*当a>0时，抛物线开口向上；*当a<0时，抛物线开口向下。*|a|的大小决定抛物线开口的宽窄：|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。*抛物线的顶点：抛物线是轴对称图形，其对称轴是一条直线。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时）。*二次函数的三种表达形式及性质：*一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)*对称轴：直线x=-b/(2a)*顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))*当x=-b/(2a)时，y有最值：若a>0，y有最小值(4ac-b²)/(4a)；若a<0，y有最大值(4ac-b²)/(4a)。*顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。*对称轴：直线x=h*当x=h时，y有最值k：若a>0，y有最小值k；若a<0，y有最大值k。*这种形式便于直接看出抛物线的顶点和对称轴，也便于根据顶点坐标和开口方向画出草图。*交点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)，其中x₁,x₂是抛物线与x轴交点的横坐标（即一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根）。*对称轴：直线x=(x₁+x₂)/2（即两交点横坐标的平均数）*这种形式便于直接看出抛物线与x轴的交点坐标。*抛物线的平移规律：*抛物线y=a(x-h)²+k可以由抛物线y=ax²通过平移得到。*平移规律：“左加右减（对h），上加下减（对k）”。*即：向左平移m个单位，h加上m；向右平移m个单位，h减去m。*向上平移n个单位，k加上n；向下平移n个单位，k减去n。*抛物线与坐标轴的交点：*与y轴的交点：令x=0，求出y=c，交点坐标为(0,c)。*与x轴的交点：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0。*若方程有两个不相等的实数根x₁,x₂，则抛物线与x轴有两个交点(x₁,0)，(x₂,0)。*若方程有两个相等的实数根x₁=x₂，则抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）(x₁,0)。*若方程没有实数根，则抛物线与x轴没有交点。2.3二次函数与一元二次方程、不等式的关系*二次函数与一元二次方程的关系：*二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交点的横坐标x₁,x₂，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根。*判别式Δ=b²-4ac：*Δ>0⇨方程有两个不相等的实数根⇨抛物线与x轴有两个不同的交点。*Δ=0⇨方程有两个相等的实数根⇨抛物线与x轴有一个交点（相切）。*Δ<0⇨方程没有实数根⇨抛物线与x轴没有交点。*二次函数与一元二次不等式的关系：*对于二次函数y=ax²+bx+c(a>0)：*y>0⇨ax²+bx+c>0⇨x<x₁或x>x₂(x₁<x₂)*y<0⇨ax²+bx+c<0⇨x₁<x<x₂(x₁<x₂)*当a<0时，不等号方向改变。可结合二次函数图像理解和记忆。2.4二次函数的应用*利用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.分析问题，找出等量关系，设出合适的自变量和函数；2.根据题意列出二次函数的解析式（注意自变量的取值范围要符合实际意义）；3.利用二次函数的性质（通常是求最值）解决问题；4.检验结果的合理性，并作答。*常见的应用类型：*最大利润问题：利润=（售价-成本）×销售量，根据题意列出利润关于售价或销售量的二次函数关系式，求最大值。*最大面积问题：根据几何图形的面积公式，结合已知条件，列出面积关于某一边长或某一变量的二次函数关系式，求最大值。*抛物线形问题：如物体的抛射运动轨迹（忽略空气阻力时近似为抛物线）、拱桥、隧道等，建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，再解决相关问题。第三章概率的进一步认识本章是在七年级学习了简单概率的基础上，进一步学习用频率估计概率以及用列表法或树状图法计算简单随机事件的概率。3.1用树状图或表格求概率*随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。*概率的意义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为