矩形课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

人教版（新教材）数学八年级下册第二十一章

四边形21.3.1矩形

复习回顾问题1：矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.问题2：矩形有哪些性质？矩形边：对边平行且相等角：四个角都是直角对角线：对角线互相平分且相等21.3.1.2矩形的判定

教学课件教学过程内容第1页：复习回顾，导入新课1.回顾矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。引导学生明确矩形的本质是“特殊的平行四边形”，特殊之处在于“一个角是直角”。2.回顾矩形的性质：（1）边：对边平行且相等；（2）角：四个角都是直角；（3）对角线：相等且互相平分。3.导入问题：我们已经知道了矩形的定义和性质，那么反过来，如何判定一个平行四边形是矩形？除了利用定义，还有没有其他的判定方法？今天我们就来探究矩形的判定。第2页：探究一：基于定义的矩形判定1.定义判定法的梳理：根据矩形的定义，“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，这是矩形最基本的判定方法。2.几何语言表述：已知四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，则四边形ABCD是矩形。3.思考辨析：（1）“有一个角是直角的四边形是矩形吗？”引导学生画图举例（如直角梯形），明确需强调“平行四边形”这个前提；（2）“有两个角是直角的四边形是矩形吗？”同样通过画图辨析，强化前提条件的重要性。第3页：探究二：对角线相等的平行四边形是矩形1.提出猜想：结合矩形性质“对角线相等”，引导学生猜想“对角线相等的平行四边形是矩形”。2.逻辑证明：已知：如图，在▱ABCD中，AC=BD。求证：▱ABCD是矩形。证明过程引导：由平行四边形性质知AB=CD，AB∥CD，结合AC=BD，AD=DA，可证△ABD≌△DCA（SSS），得∠BAD=∠CDA；又因AB∥CD，∠BAD+∠CDA=180°，故∠BAD=90°，根据定义可判定▱ABCD是矩形。3.结论总结：对角线相等的平行四边形是矩形。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形。4.辨析：“对角线相等的四边形是矩形吗？”引导学生举例（如等腰梯形），明确需“平行四边形”前提。第4页：探究三：有三个角是直角的四边形是矩形1.提出问题：如果一个四边形有三个角是直角，它是不是矩形？2.推导过程：（1）由四边形内角和为360°，若三个角是直角，则第四个角=360°-3×90°=90°，即四个角都是直角；（2）有三个角是直角的四边形，对边必然平行（同旁内角互补，两直线平行），故该四边形是平行四边形；（3）结合矩形定义，可判定为矩形。3.结论总结：有三个角是直角的四边形是矩形。几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形。第5页：矩形判定方法汇总1.定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；3.定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。2.方法辨析：引导学生区分“平行四边形”为前提的判定（定义法、定理1）和直接判定四边形为矩形的方法（定理2），明确不同场景下的选择思路。第6页：例题解析（一）例题1：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°。求∠OAB的度数。分析引导：（1）由平行四边形性质知OA=OC，OB=OD，结合OA=OD，得OA=OB=OC=OD，即AC=BD；（2）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，判定▱ABCD是矩形；（3）由矩形性质知∠DAB=90°，故∠OAB=∠DAB-∠OAD=90°-50°=40°。解答过程板书：（规范几何语言表述，强化步骤完整性）第7页：例题解析（二）例题2：求证：四个角都相等的四边形是矩形。分析引导：（1）设四边形四个角为∠A、∠B、∠C、∠D，由题意∠A=∠B=∠C=∠D；（2）四边形内角和360°，故每个角=90°；（3）根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可证结论。证明过程书写：（强调逻辑严谨性，规范几何证明格式）第8页：课堂练习（基础巩固）1.判断题：（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√，提示：对角线互相平分的四边形是平行四边形，再结合对角线相等判定）2.填空题：在▱ABCD中，若∠A+∠C=180°，则∠A=____°时，▱ABCD是矩形。（答案：90，提示：平行四边形对角相等，故∠A=∠C，结合和为180°得∠A=90°）3.解答题：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠1=∠2。求证：▱ABCD是矩形。（提示：由∠1=∠2得OA=OB，结合平行四边形对角线互相平分得OA=OC，OB=OD，故AC=BD，进而判定矩形）第9页：课堂小结1.矩形的三种判定方法（定义法、定理1、定理2）及对应的几何语言；2.判定矩形的关键思路：要么先证是平行四边形，再添加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件；要么直接证四边形有三个角是直角；3.易错点提醒：注意判定方法的前提条件，避免忽略“平行四边形”而直接判定。四边形归纳总结矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.四边形平行四边形矩形两组对边分别平行一个角是直角平行四边形矩形探究新知矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象.你还能举出一些例子吗探究新知矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.矩形对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分．它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ABCD提示如图，四边形ABCD是矩形，∠A=90°.求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.证明：∵四边形ABCD是矩形，∠A=90°，∴∠C=∠A=90°，∠B=∠D，AD∥BC.∴∠B+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠B=180°-∠A=180°-90°=90°，∴∠D=90°，∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.提示如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠DCB=∠ABC=90°，在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC=DB.(2)猜想2：矩形的对角线相等.探究新知工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？四边形平行四边形矩形两组对边分别相等对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形.探究新知我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.成立.CBAD跟踪训练1

矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是A.对边相等

B.对角相等C.对角线相等

D.对角线互相平分√解析矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等.例2

(课本P69例1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形ABCD的对角线的长.解∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OA=OB，又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴AC=BD=2OA=8.归纳总结性质数学语言图形角对角线对称性矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∴AC=BD.∵四边形ABCD是矩形，矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.CBADCBADO例题练习如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形ABCD的对角线的长.CBADO解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形.∴OA=AB=4.∴AC=BD=2OA=8.矩形的对角线相等且互相平分问题3

如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.在Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？

如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH

是矩形.例2分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠BAD+∠ADC=180°.又AF，DF

分别平分∠BAD，∠ADC，∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC

=(∠BAD+∠ADC)

=90°.

∴∠F=90°.同理∠H=∠AEB=90°.∴∠FEH=∠AEB=90°.∴四边形EFGH

是矩形.3.(课本P71练习第2题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB