立体图形的直观图课件（第二课时）2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图（第二课时）复习回顾——直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．(1)画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示．(2)立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形．复习回顾——斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的_________________，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝_______________，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于____________的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为_____________．x′轴和y′轴45°(或135°)x′轴或y′轴原来的一半复习回顾——空间几何体直观图的画法(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个____轴．(2)画平面：平面_______表示水平平面，平面______和______表示竖直平面．(3)取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中_______________都不变．(4)成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______．zOxyOyzOzx平行性和长度虚线问题引领，深入思考1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？答：“斜”是指在已知图形的Oxy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°角；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴(或在x′轴上)的线段长度不变；平行于y′轴(或在y′轴上)的线段长度变为原来的一半．问题引领，深入思考2．相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？答：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等．3．画直观图时，如何区别实线和虚线？答：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线，看得见的部分要画成实线．问题引领，深入思考4.在一次绘画课上，老师让学生自己画出一个水平放置的圆柱体的图象．某两位同学的作品如图，你认为谁的作品好？为什么？答：乙同学作品更好，他的作品符合空间图形直观图的规则，既将各部分的位置关系和度量关系表达出来，又画得极富立体感，符合我们的视觉习惯．问题引领，深入思考5．直观图与原图间面积的关系？题型一——画水平放置的平面图形的直观图

例

1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．

题型一——画水平放置的平面图形的直观图题型一——画水平放置的平面图形的直观图总结(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．总结巩固练习用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．巩固练习题型二——由直观图还原平面图形例

2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

题型二——由直观图还原平面图形【解析】(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.(2)过点B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过点D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图．总结由直观图还原平面图形有两关键点：(1)平行于x′轴(或在x′轴上)的线段长度不变，平行于y′轴(或在y′轴上)的线段长度扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点，可通过作x′轴，y′轴的平行线确定其在直角坐标系xOy中的位置．巩固练习(1)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(

)√【解析】根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确．巩固练习(2)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴、y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(

)A．等腰三角形

B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【解析】因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．故选D.√题型三——直观图与原图形的计算

例

3一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．

【解析】方法一：如图①所示的是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过点D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于点E′，则B′E′＝A′D′＝1.又梯形为等腰梯形，题型三——直观图与原图形的计算题型三——直观图与原图形的计算总结巩固练习√巩固练习题型四——空间几何体的直观图

例

4画棱长为2cm的正方体的直观图．

题型四——空间几何体的直观图(3)画侧棱，分别过点A，B，C，D沿z轴的正方向取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2cm.(4)连线成图，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即可得到正方体的直观图，如图．总结画空间几何体的直观图的四个步骤：(1)画轴：画Ox轴，Oy轴，Oz轴，且∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．(4)连线成图：画图完成后，擦除辅助线，看得见的地方用实线，被遮挡的部分用虚线(或不画)，就得到了几何体的直观图．巩固练习画出底面边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图．【解析】(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，且∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图1.(2)画底面．以O为中心，在Oxy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2cm，AD＝0.6cm.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5cm.(4)连线成图．连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图2.当堂检测1．【多选题】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，对其中的线段说法正确的是(

)A．原来相交的直线仍相交

B．原来垂直的直线仍垂直C．原来平行的直线仍平行

D．原来共点的直线仍共点√√√当堂检测2．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在O′x′y