辽宁省名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点，且倾斜角是的直线方程是（）A. B.C D.【答案】D【解析】因为，所以．故选：D.2.以点，点为直径的两个端点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圆的定义知圆心为线段的中点，即为，半径为，所以圆的方程为．故选：D.3.的展开式中的系数为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】解法一：因为，所以展开式中的系数为1；解法二：展开式中的项为，所以的系数为1.故选：C.4.如图，在三棱锥中，，，，点在线段上，且，为线段中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故选：B.5.某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（）A.105种 B.210种 C.630种 D.1260种【答案】C【解析】将7名大学生分为3人，2人、2人的3个小组，分别去参观这三个地点，共有种不同参观方案.故选：C.6.已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】设，由题意得，，则．当且点为线段与圆的交点时等号成立，所以的最小值为故选：A．7.已知正方体的棱长为1，点是平面的动点，若点到直线的距离等于点到直线的距离，则动点的轨迹所在的曲线是A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线【答案】B【解析】以点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，因为点是平面的动点，所以设，因此到直线的距离为，点到直线的距离为,又因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以，即，为双曲线.故选B8.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上存在四个点A，B，C，D满足，在线段上，在线段上，，，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接，设，，由对称性可知，则，，，因为，则分别在Rt和Rt中，有，解得，，化简得，故．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A项，令，则，A项正确；对于B项，令，则，B项正确；对于C项，令，则，结合B项得，C项错误；对于D项，，，则，D项正确．故选：ABD.10.设圆的圆心为双曲线的右焦点，且圆与双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长为2，则属于（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，设右焦点为，圆C的半径为r，因为圆与双曲线的渐近线相切，所以圆心到双曲线的渐近线的距离为半径，不妨取渐近线，则，因为圆心到直线的距离，由题意，解得，所以.故选：AC.11.如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.当时，点的轨迹长度为C.存唯一，使D.若，则三棱锥外接球的半径为【答案】BCD【解析】选项A：作关于平面的对称点，则，所以的最小值为，故A项错误；选项B：过点作于，则为在平面上的射影，若要，只要即可，因为四边形为正方形，是棱的中点，且，所以，所以，又，所以，所以，即为的中点，又，所以点的轨迹的中位线，长度为，故B项正确；选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，所以，所以，即为的中点，故C项正确；选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为，又，所以外接球的半径为，故D项正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.比2000小且没有重复数字的四位偶数有________个．（用数字表示）【答案】280【解析】当千位数字为1时，个位数字可以为0，2，4，6，8，有5种选择，百位数字从剩下8个数字中选择，十位数字从剩下7个数字中选择，共有个．故答案为：280.13.直线，圆，则直线被圆截得的弦长的取值范围为______．（用区间表示）【答案】【解析】直线：，令，所以直线恒过点，因为，则点在圆C内部，直线与圆C相交，圆心，半径，当截得弦长最长时，直线过圆心，即为直径长度6，当圆心与点连线与直线垂直时，弦长最短，最短弦长为.所以弦长的取值范围为．故答案为：.14.已知椭圆，作椭圆关于直线的对称图形，得到椭圆，点，，是椭圆上第三象限内的动点，为对称后的对应点，则面积的取值范围是______．【答案】【解析】设点，，，因为点与点关于对称，所以，因为，直线，所以点到直线的距离，所以．令，所以，因为，，所以当直线无限接近点时，无限接近；联立，得，由得当直线与椭圆相切于第三象限时，取得最小值为，所以，所以，所以面积的取值范围为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的三个顶点是，，．（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求外接圆的方程，并求出圆心和半径．解：（1）由题意得中点为，，所以边上的中线所在的直线方程为，即．（2）设所求圆的方程为，则解得，，，所以该圆的方程为，又化为标准方程为，所以该圆的圆心为，半径为．16.已知动点到定点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线交于A，B两点，点，直线，直线的斜率分别为，．若，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．（1）解：因为动点到定点的距离比它到直线的距离小，所以动点到直线的距离与到点的距离相等，根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，所以，则，所以曲线的方程为．（2）证明：由题意知直线的斜率存在，设，，直线的方程为，联立，消去得，则，，．所以，又，所以，即，即直线的方程为，即，令，解得，所以直线过定点．17.已知正三棱柱的各棱长均相等，是上一点，且满足平面平面．（1）求证：是线段的中点；（2）求与平面所成角的正弦值．（1）证明：解法一：如图，取的中点，连接，过点作，垂足为，连接．因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，，又平面，所以，又，，平面，，所以平面．因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因为平面且平面平面，所以，所以四边形为平行四边形．因为，，所以，又为的中点，所以为的中点，所以，所以是线段的中点．解法二：取的中点为，以的中点为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为2，所以，，，，，，，设，则，．设平面的法向量为，则，令，则．由正三棱柱的性质易知平面的一个法向量为．由已知，解得，所以是线段的中点．（2）解：解法一：连接，由（1）知为的中点，．所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以为与平面所成角．设正三棱柱的棱长为，则在正方形中，，在中，，所以．所以与平面所成角的正弦值为.解法二：由（1）知平面的法向量为，，，设与平面所成角为．则.所以与平面所成角的正弦值为.18.如图，在三棱锥中，，，，，，E，F，G分别是，，的中点，点M，N分别在线段，上，，．（1）求证：E，G，N，M四点共面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面夹角的大小．（1）证明：因为E，G分别是，的中点，所以，因为，，所以，所以，所以E，G，N，M四点共面．（2）证明：解法一：因为，，，所以，所以，又，在中，由余弦定理得，则，满足，所以．因为，，所以，因为，，平面，所以平面．因为F，G分别是，的中点，所以，所以平面，又平面，所以平面平面．解法二：因为，所以以为坐标原点，以，所在直线分别为x，y轴，过点作轴垂直平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，因为，，，所以，设，，所以由可得，解得，所以，所以，设平面的法向量为，，，则得，令，则，，所以．因为，，所以，，所以，，设平面的法向量为，则得，令，则，，所以．因为，所以平面平面．（3）解：解法一：如图，设，，由（1）知，平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，又，所以，所以在中，，由（2）知，，，所以，，则为平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角．因为，，，所以，所以在中，，因为在中，，推出，所以．在中，，，，所以，又由（2）知，所以在中，，所以，故平面与平面的夹角为．解法二：由（2）知平面的一个法向量，又平面的一个法向量，所以，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的大小为．19.已知为椭圆上一动点，椭圆的左、右焦点分别为，，当时，有．（1）求椭圆的方程；（2）将椭圆上的点的横、纵坐标都变为原来的3倍得到椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，射线交椭圆于点．（i）判断与的比值是否是定值，并说明理由；（ii）求面积的最大值．解：（1）因为，所以，所以为直角三角形，所以，则有，