高一数学期末复习专题讲义 第五讲 指数运算与指数函数（学生版）

第五讲指数运算与指数函数【知识梳理】一、指数与指数幂的运算1．根式（1）次方根的概念与性质次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性质①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.③0的任何次方根都为0，记作.（2）根式的概念与性质根式概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.性质①.②当为奇数时，.③当为偶数时，.2．实数指数幂（1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）实数指数幂对于任意实数，均有下面的运算性质：①；②；③.二、指数函数的图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.【注】指数函数的结构特征：（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1.2．指数函数的图象与性质定义域值域奇偶性非奇非偶函数对称性函数与的图象关于y轴对称过定点过定点，即时，图象单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.题型01指数幂的运算【解题思路】利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．【例1】已知，则的值(

)A． B． C． D．【例2】计算：(1)(2).【变式1-1】若，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】求值或化简(1)计算：；(2)化简（用分数指数幂表示）：题型02识别指数（型）函数图象及定点问题【解题思路】处理指数函数图象问题的3个策略：（1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点．（2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．（3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．【例3】已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是.【例4】在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（

）A． B．C．

D．

【变式2-1】已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为.【变式2-2】已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【变式2-3】已知且，与的图象可以是（

）A．

B．

C．

D．

题型03根据指数型函数图象求参数【例5】（多选）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【例6】（多选）函数，存在实数使得，则下列关系式中成立的是（

）A． B． C． D．【变式3-1】函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）A． B．C． D．【变式3-2】设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）

A． B． C． D．【变式3-3】已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型04求指数（型）函数的值域【解题思路】（1）指数函数的值域为；（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域；（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.【例7】若函数，，则函数的值域为．【例8】函数的最大值为.【变式4-1】函数的值域是．【变式4-2】函数的值域为，单调递增区间为.【变式4-3】已知函数，则的最大值是.题型05指数（型）函数的单调性问题【解题思路】关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题【例9】（多选）下列函数中满足“对任意，都有”的是（

）A． B． C． D．【例10】函数的严格递减区间为．【变式5-1】（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【变式5-2】已知函数为偶函数，则函数的增区间为（

）A． B．C． D．【变式5-3】函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．题型06比较指数式的大小【解题思路】比较幂的大小的3种类型及方法：（1）对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断．（3）对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如或)来比较．【例11】已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【例12】已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）.A． B．C． D．【变式6-1】已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【变式6-2】已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，设，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．题型07解不等式【解题思路】指数不等式的求解策略：（1）形如的不等式：可借助的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论．（2）形如的不等式：注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解．【例13】“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例14】已知指数函数且，经过点．(1)求的解析式及的值；(2)若，求的取值范围．【变式7-1】已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【变式7-2】已知函数的图像经过，其中且(1)求实数的值(2)若，求实数的取值范围【变式7-3】已知函数，则不等式的解集为.题型08根据值域（最值）求参数【例15】已知且是偶函数.(1)求的值.(2)若在上的最大值比最小值大，求的值.【例16】函数（且）的值域是，则实数（

）A．3 B． C．3或 D．或【变式8-1】已知的值域为，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-2】已知函数，.(1)时，求的值域；(2)若的最小值为4，求的值.【变式8-3】设函数是定义域为的偶函数．(1)求实数的值；(2)若，且在上的最小值为2，求实数的值．题型09恒成立问题【解题思路】（1）若在集合中恒成立,即集合是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围);（2）转化为函数值域问题,即已知函数的值域为,则恒成立,即;恒成立,即.【例17】已知函数，且正数满足，若恒成立，则实数的取值范围是.【例18】已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数.(1)求的值，并证明为奇函数；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【变式9-1】函数是定义在R上的偶函数，且当时，.若对，使得恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式9-2】已知奇函数的定义域为，其中为指数函数，且过定点.(1)求函数与的解析式；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【变式9-3】已知函数.(1)若关于x的不等式的解集为，求的值；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围.题型10指数函数的实际问题【例19】为了预防某种病毒，学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：h）的变化情况如右图所示，在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，写出从药物释放开始，与之间的函数关系式.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生方能回到教室.【例20】年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：万个若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择．参考数据：，，，(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个．【变式10-1】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，为常数，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在.经测量室温为，茶水降至大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待分钟.（参考数据：.）【变式10-2】保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（

）A． B． C． D．【变式10-3】头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（

）A．8h B．9h C．10h D．11h课后作业一、单选题1．设实数a，b满足，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．32．若函数是指数函数，则的值为（

）A．2 B．1 C．1或 D．3．已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．已知函数，若，，则实数的最大值为（

）A． B． C．2 D．5．若函数（，）的图象恒过定点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．6．若函数有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题8．已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（

）A． B． C．