浙江宁波六校联盟2025-2026学年第二学期高一期中联考高一年级数学学科试题含解析

2025学年第二学期宁波六校联盟高一期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据点线关系和线面关系判定即可.【详解】点A在直线l上，则，l在平面内，则故选：D2.若复数满足，则的实部与虚部之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由i2z−1=3+i化简可得z=−1即的实部为，虚部为，所以的实部与虚部之和为.3.在△ABC中，已知，，，则角为（）A.60° B.30°或150 C.60°或120° D.120°【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得，得或120°，然后由边角关系，作出判断即可.【详解】解：由正弦定理或,，或均符合.故选:C．4.若某平面图形用斜二测画法得到的直观图是边长为4的正三角形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】如图，直观图是边长为的正三角形，则其高D′过作轴，交于，则，则在原中，，边上的高为，故的面积为.5.下列说法正确的是（）A.四棱柱的所有面均为平行四边形B.如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等C.用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【答案】C【解析】【分析】对A，B，D，举出反例，即可判断A，B，D错误，对C，利用相似三角形的判定即可判断C正确.【详解】对选项A，四棱柱的底面可以是梯形，如图所示：故A错误.对选项B，如图所示：在正方体中，四棱锥，满足底面为正方形，四条侧棱显然不相等，故B错误.对选项C，如图所示：三棱锥中，平面平面，所以，，，即与相似，故C正确.对选项D，如图所示该几何体满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故D错误.故选：C6.在中，，分别为，边上的点，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可设，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．【详解】解：如图，设，且，则：，，，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．7.在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.84π B.88π C.92π D.96π【答案】A【解析】【分析】由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，2r=ABsin60o=6设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为，由题可得平面，而平面，过点作，交于点，连接，则，易得矩形，则，在直角三角形中，R2=6−R2所以三棱锥外接球的表面积为.8.已知满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．【详解】已知满足，设、、对应的边分别为，，，则，即，由所以，则当取最大值时，取最小值，由于，当且仅当时取等号，即的最小值为，所以的最大值为二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若与的夹角为钝角，则C.若向量，则 D.若在方向上的投影向量为，则【答案】AD【解析】【分析】应用向量共线坐标公式计算判断A，应用向量夹角余弦得出数量积小于0且向量不共线判断B，应用模长公式计算判断C，结合投影向量公式计算判断D.【详解】因为向量，，若，则2×6=-2k，则，A选项正确；若与的夹角为钝角，则a→·b→=-4+6k<0则k∈−若向量，则4+k2≥3，所以k2≥5若在方向上的投影向量为a→·b→b→2b→10.已知复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（）A. B.C. D.若复数满足，则的最小值为1【答案】ABD【解析】【分析】根据复数乘法三角表示的几何意义计算可判断A；代入计算可判断B；根据复数乘法三角表示的几何意义及三角函数性质计算可判断C；设，根据复数模的几何意义计算可判断D.【详解】对于A，因为复数，，所以复数的三角形式可表示为，由复数乘法三角表示的几何意义可知，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，由三角函数性质可知，周期为6，因为，又因为，所以所以，故C错误；对于D，设复数，因为，所以，，则，当时，有最小值为，即的最小值为1，故D正确.11.已知三个内角的对边分别为，且，下列说法正确的是（）A.为钝角三角形 B.若，则C. D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】先利用cosA+sin【详解】对于A，由于的三个内角，因此sinB>0，由题意得cosA+sinB=0⇒因此，即为钝角三角形，故A正确；对于B，由于的三个内角，因此cosA+sinB=0⇒cos若，由正弦定理得2sinπ2+B=b对于C，cosA+由于A=π2+B，则C=π-A-B=π2-2B由于在上单调递减且cos5π12因此2cosB+π6∈对于D，由于C=π2-2B则2tanB+tanC=2tan由于B∈0,π4，当B=π6∈0,π4时，非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每个小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知向量，满足，，且，则与的夹角为______.【答案】【解析】【详解】因为，所以，即，设与的夹角为，则，又，，所以，解得，因为，所以.13.已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则______.【答案】【解析】【分析】由余弦定理变形得，所以，代入，并利用二倍角公式，诱导公式变为同名函数，再利用三角函数性质得出结论.【详解】因为，所以，两边同乘以得，又由余弦定理得2abcosC=a所以，所以，因为，所以cosA=2cos即，显然不可能为钝角，否则，，不可能相等，同样不可能等于，所以为锐角，所以，所以.14.在中，D为中点，点E满足，，，延长交于点F，则_______.【答案】【解析】【分析】根据题目，由向量基本定理，选取作为基底，表达出其他各向量，结合共线向量定理的推论，向量数量积运算法则，计算出答案【详解】因为，所以，即，又D为中点，所以，故，，故，①又，所以，因为，所以，即，②联立①②得，，设，则，因为三点共线，所以，解得，则，，将和代入上式，化简得，.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数满足，且（i为虚数单位）.（1）若是方程的一个复根，求p和q的值；（2）若复数在复平面上的对应点在第二象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】设，，则，由题可知：z+z=2a=4z−z=2b因为是方程的一个复根，所以将代入可得，化简可得3+2p+q−4+p由题可知，，因此3+2p+q=04+p=0，解得p=−4【小问2详解】（2）因为z+ai2所以z+ai2在复平面对应的点为由题可知，在第二象限，因此a+13−a<0416.如图所示，现有一块铁料，形状为正四棱台，该棱台上、下底面的边长分别为4cm和8cm，高为6cm，，分别是棱台上、下底面的中心.（1）求正四棱台的表面积；（2）现将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求此圆台的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出棱台的侧面的高，结合棱台的结构特征以及表面积公式即可求得答案；（2）由题意可知圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，由此可求出圆台的体积.【小问1详解】如图，正四棱台的每个侧面均为全等的等腰梯形，分别取，的中点E，F，连接，，，过点E作于点G，则，，，，由勾股定理可得：，侧面积，又由题可知，棱台下底面面积，上底面面积，故棱台表面积；【小问2详解】若要将铁料棱台最大限度打磨为一个圆台，则圆台上下底面恰为正四棱台上下底面正方形的内切圆，高与正四棱台一致，所以圆台上底面半径，下底面半径，高，则圆台.17.已知锐角三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）证明：；（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角差的正弦公式（2）根据锐角三角形的性质，结合两角和的正弦公式、二倍角公式进行求解即可.【小问1详解】由与正弦定理可得：，由可得：，整理得：，即，由题：，故有，即.【小问2详解】由（1）可知：，，因为为锐角三角形，所以A=2B∈0,π2由正弦定理可得：，由可得，故；18.如图所示，在中，已知，，，点D是边上一点，点E是边上一点，两点分别满足，，记与相交于点F.（1）求；（2）证明：；（3）当时，求.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可；（2）根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可；（3）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】由余弦定理可得：，即；【小问2详解】由可得：，，，，两式相加，化简可得：，即命题成立.【小问3详解】由A，F，E三点共线且C，F，D三点共线可知：当时，，，，即，同理：，即，故.19.如图所示，已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内部一点P满足，则称点P为的布洛卡点，称为的布洛卡角.（1）当是边长为4的正三角形时，其布洛卡点恰为的内心，求此时的外接圆半径；（2）证明：；（3）已知，，，求.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理求外接圆半径