2026高考数学复习高效培优专题18 抛物线定义与性质及其综合问题（培优讲义）（原卷版）

专题18抛物线定义与性质及其综合问题

目录

第一部分研·考情精析锁定靶心高效备考

第二部分理·方法技巧梳理知识总结技巧与方法

第三部分攻·题型速解典例精析+变式巩固

【题型01】抛物线的定义和方程

【题型02】利用抛物线的定义求解最值

【题型03】抛物线的简单性质

【题型04】抛物线的中点弦公式

【题型05】抛物线的焦点弦性质

【题型06】抛物线中阿基米德三角形

【题型07】抛物线中的面积问题

【题型08】抛物线中向量问题

【题型09】抛物线中斜率问题

【题型10】抛物线中定点、定线问题

【题型11】抛物线中交点及数列问题

第四部分练·决胜冲刺精选好题+通关训练

抛物线是高考解析几何核心考点，考向精准且高频。①基础小题：考查标准方程、焦

点坐标、准线方程，及p的几何意义，结合定义求距离、最值，多为基础送分题。②核心

性质：聚焦焦半径、焦点弦、通径结论应用，常考焦点弦长公式、中点坐标、垂直性质，

考向聚焦侧重结论活用。③综合大题：与直线联立，考查弦长、面积、定点定值、最值问题，融合

韦达定理、数形结合，偶结合向量、导数综合考查。④创新考向：以抛物线为载体，考查

轨迹方程求解、存在性问题，侧重逻辑推理与代数运算能力，难度中等，是解析几何必拿

分模块。

核心抓定义活用与代数运算两大能力，紧扣数形结合核心。一是定义转化能力，熟练

用抛物线上点到焦点与准线距离相等，快速转化线段长度、求最值，规避复杂计算；二是

方程驾驭能力，精准写四种标准方程，快速求焦点、准线，掌握p的几何意义；三是联立

关键能力运算能力，直线与抛物线联立，巧用韦达定理代换，简化弦长、中点、面积计算，减少运

算量；四是性质迁移能力，熟记焦半径、焦点弦、通径结论，灵活套用解题；五是数形分

析能力，结合图像分析位置关系、最值范围，规避漏解。关键在减少盲目运算，用定义、

性质简化过程，提升解题效率与准确率。

立足基础，狠抓核心，精准突破。夯实基础：熟记四种标准方程、焦点准线坐标及p的

几何意义，吃透定义本质，确保小题零失误。吃透性质：熟练掌握焦半径、焦点弦、通径

核心结论，背记弦长、面积公式，提升解题速度。强化运算：专项练直线与抛物线联立、

备考策略韦达定理应用，攻克代数化简、消元计算难点，避免运算失分。专题突破：聚焦定点定值、

最值范围、存在性高频题型，总结解题模板，活用数形结合。错题复盘：归类运算失误、

性质误用、定义漏用问题，针对性补弱，做到基础题稳拿、中档题快解，高效突破解析几

何高频考点。

方法技巧01选填的常用方法

（

1）定义法（核心）：利用“抛物线上点到焦点=到准线距离”，转化线段长度、求最值，轨迹，避开复

杂联立，小题秒杀首选。

（2）待定系数法：设抛物线标准方程（先定开口方向），代入已知点，焦点，准线，求参数p，快速写方

程，基础题必用。

（）韦达定理法：直线与抛物线联立，设而不求，用韦达定理代换，求弦长、中点、面积、定

3x1x2,x1x2

点定值，大题核心解法。

（4）性质结论法：熟记焦半径、焦点弦、通径、焦点弦中点坐标等结论，直接套用，大幅提速（如焦点弦

2p

长|AB|）。

sin2

（5）数形结合法：画图像分析开口、焦点位置、直线与抛物线交点，判断最值范围、位置关系，规避漏解，

错解。

y2

（6）坐标转化法：设抛物线上点坐标（如y22px设为(0,y)），简化向量、距离、斜率计算，减少运

2p0

算量。

方法技巧02抛物线的常用做题结论和技巧

常

见的抛物线解题技巧

焦点弦

过焦点F的直线l（倾斜角为）与抛物线交于A,B两点，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

M(x0,y0)为AB中点，过A,B,M两点，分别做准线的垂线交垂线于A1,B1,N两

点，则有以下结论：

p2

（1）xx；yyp2．

12412

pp

（2）焦半径坐标式：|AF|x,|BF|x,|AB|xxp.

122212

pp2p112

（3）焦半径倾斜式：|AF|,|BF|,|AB|，且.

1cos1cossin2|AF||BF|p

112ppp2

（4）S|AB|dsin

AOB22sin222sin

（5）以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或者BF为直径的圆与y轴相切；

，，，，

（6）AOB1三点共线，BOA1三点共线．

π

（7）AEB90，AFB.

112

（8）kABy0p.

（9）过A,B分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为N，且MN与x轴平行.

（10）ANBN,ABNF.

2

（11）SABNp.

题型01抛物线的定义和方程

典｜例｜精｜析

2

典例1．已知A为抛物线C：x2pyp＞0上一点，点A到C的焦点的距离为4，到x轴的距离为2，则

p（）

A．2B．3

C．4D．6

典例2．已知抛物线C:x24y的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A,B两

点，且直线AF的倾斜角为150，则AB（）

A．23B．22

C．6D．4

定义易错：混淆“点到焦点距离=到准线距离”，忽略定点不在定直线上的前提；最值问题未用定

义转化，盲目计算。

方程易错：未先判断开口方向，随意设标准方程；记错焦点、准线坐标，混淆p的几何意义（焦点

到准线距离为p,(p0)）；漏写p0，导致开口方向出错。

核心避坑：先定开口再设方程，牢记四种标准方程对应焦点、准线；紧扣定义转化距离，时刻注意p

的正值性，避免基础失分。

变｜式｜巩｜固

变式1．设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线上的一点P作l的垂线，垂足为Q，若PQF30，

则PQ（）

13

A．B．

33

4

C．D．3

3

变式2．已知抛物线E:x24y的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两

点，且AFB60，则AB（）

A．23B．22

C．6D．4

题型02利用抛物线的定义求解最值

典｜例｜精｜析

典例1．已知点N1,1，抛物线C：x24y的焦点为F，P是C上的动点，则PNPF的最小值为（）

3

A．B．2

2

5

C．D．3

2

典例2．已知点P为抛物线y22px(p0)上一动点，点Q为圆C：(x2)2(y4)21上一动点，点F为抛

物线的焦点，点P到y轴的距离为d.若PQd的最小值为3.则p（）

A．1B．2

C．3D．4

核心错因：未紧扣“点到焦点=点到准线距离”转化，盲目用两点间距离公式硬算，增加运算量且

易出错；忽略动点轨迹为抛物线，误判最值取点条件。

常见失误：转化后未找“垂线段最短”，错选交点；混淆定点位置（在抛物线内，外），导致最值模

型选错；漏看抛物线范围，忽视横坐标，纵坐标取值限制。

避坑关键：先定义转化距离，再数形结合找垂线段，明确定点位置，结合抛物线范围验证最值取点，

避免盲目计算失分。

变｜式｜巩｜固

变式1．已知点P(x,y)是准线为l的抛物线x24y上一动点，PMl于点M，点Q(22,0)，则|PM||PQ|

的最小值是（）

A．1B．2

C．3D．4

变式2．已知抛物线C:y24x的焦点为F，M为C上的动点，N为直线l:x3y30上的动点，设点

M到y轴的距离为d，则|MN|d的最小值为（）

A．1B．2

C．3D．4

题型03抛物线的简单性质

典｜例｜精｜析

典例1．已知抛物线y24x的焦点为F，点A是抛物线上位于第一象限的点，若|AF|4，则AOF的面积

为（）

A．1B．3

C．2D．23

典例2．已知抛物线C：y28x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，则下列说法正确的是

（）

A．焦点F到抛物线C的准线的距离为8

111

B．

AFBF4

C．若AB的中点的纵坐标为4，则AFBF8

．若，则

D2BFAFSAOF42

p

核心易错在焦半径、焦点弦、对称性及p的意义。混淆焦半径公式，未对应开口方向，错用x或

02

p

y；焦点弦长漏加p，忽视通径是最短焦点弦；误判对称性，忽略抛物线无中心只有对称轴；记错p

02

的几何意义，把焦点到顶点距离当成p；忽略范围限制，求最值时未考虑横、纵坐标取值边界；焦点、

准线坐标符号写错，开口与方程形式不匹配。

避坑关键：牢记性质对应开口，数形结合标注关键点，强化公式与符号记忆。

变｜式｜巩｜固

变式1．记抛物线E:y22px(p0)的焦点为F，其准线与x轴交于点T，过T作直线l与E分别交于A,B

163

两点，且AB2TA，若△ABF的面积为，则p（）

3

A．2B．4

C．6D．8

2

变式2．已知抛物线C:y2pxp0，过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点（A在第一象限）且

3

OAOB（O为坐标原点），则当AF4FB时，△OAB的面积为（）

4

15

A．B．

28

37

C．D．

48

题型04抛物线的中点弦公式

典｜例｜精｜析

典例1．已知抛物线y24x上的点M到其准线的距离为5，直线l交抛物线于A，B两点，且AB的中点为

N(2,1)，则M到直线l的距离为（）

595

A．5或95B．或

55

5355

C．或D．或35

555

2

典例2．已知直线l:2kx2ykp0与抛物线C:y2pxp0相交于A、B两点，点M1,1是抛物线

C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（）

A．p2B．k2

C．△MAB的面积为55D．AB5

核心易错：点差法仅适用于中点弦的情况，忽略直线与抛物线相交的前提，盲目套公式致错；混淆

不同开口的中点弦斜率公式，记错系数与p的关系；漏验证判别式Δ>0，误判不存在的中点弦；设点时

坐标写错，相减消元计算出错，符号混乱；忽略抛物线范围，中点坐标超出轨迹未检验。

关键避坑：先判断开口再用对应公式，必验证Δ>0，相减时细心核对符号，结合图像检验中点合理

性，杜绝生搬硬套失分。

变｜式｜巩｜固

变式1．过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂

4

直平分线经过点(0,2)，则p等于（）

22

A．B．

53

44

C．D．

53

变式2．已知斜率为k的直线l过抛物线C:y22pxp0的焦点，且与抛物线C交于A,B两点，抛物线C

的准线上一点M1,1满足MAMB0，则AB（）

A．32B．42

C．5D．6

题型05抛物线的焦点弦性质

典｜例｜精｜析

典例1．（多选）设O为坐标原点，直线3xy30过抛物线C:y22px(p0)的焦点，且与C交于M,N

两点（M在第四象限），l为C的准线，则（）

16

A．l的方程为x1B．MF

3

C．以MN为直径的圆与l相交D．OMN为钝角三角形

2

典例2．（多选）已知抛物线C:y2pxp0，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点，过A,B

分别作l的垂线，垂足分别为A,B，则（）

A．FAFB

B．若AF3BF，则直线AB的斜率为3

C．A,O,B三点共线（其中O为坐标原点）

2

D．AB4AFBF

混淆焦点弦斜率与弦长公式适用条件，忽视斜率不存在（垂直对称轴）时弦长为2p，斜率存在时弦

2p

长为xxp或（为弦与对称轴夹角）。

12sin2

p2

误认焦点弦两端点坐标关系，需牢记yyp2、xx，与普通弦区分。

12124

忽略焦点弦与准线关联，过两端点作准线垂线，垂足与焦点三点共线，此性质易漏用。

计算焦点弦中点轨迹时，忘记用点差法或参数法验证，导致轨迹方程缺范围。

变｜式｜巩｜固

变式1．（多选）已知抛物线C:y24x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直

线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（）

A．若直线BD的斜率为1，则BD8B．以BD为直径的圆与y轴相切

C．EFGFD．B，O，G三点共线

2

变式2．（多选）已知抛物线M:y4x，焦点为F，过F的直线交M于点A，B，其中Ax1,y1在第一

象限，Bx2,y2在第四象限，O为坐标原点，连接BO交抛物线的准线于点C，则下列说法正确的是（）

11

A．AB的最小值是4B．2

AFBF

163

C．直线AC平行于x轴D．ABC的面积的最大值为

9

题型06抛物线中阿基米德三角形

典｜例｜精｜析

典例1．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在

物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB

为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：x28y的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为3x3y60，关

于“阿基米德三角形”PAB，下列结论不正确的是（）

32

A．ABB．PAPB

3

C．PFABD．点P的坐标为3,2

2

典例2．过抛物线y2pxp0的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A、B两点，M为AB的中点，分

别过A、B两点作抛物线的切线l1、l2相交于点P.PAB又常被称作阿基米德三角形.下面关于PAB的描述：

①P点必在抛物线的准线上；

②APPB；

p2

③设Ax1,y1、Bx2,y2，则PAB的面积S的最小值为；

2

④PFAB；

⑤PM平行于x轴.

其中正确的个数是（）

A．2B．3C．4D．5

概念混淆：误将任意弦与切线构成的三角形当作阿基米德三角形，忽略核心条件——弦的中点与抛

物线顶点连线平行于对称轴，或切线需与抛物线相切于弦的端点。

切线方程失误：求切线方程时，记错抛物线切线公式（如2在点处切线为

y2px(x0,y0)

，或代入点坐标时符号出错。

y0yp(xx0)

面积公式误用：阿基米德三角形面积与弦长、抛物线参数p相关，易混淆为普通三角形面积公式，

忽略面积与弦到焦点距离的关联，或计算时遗漏参数p的系数。

性质推论遗漏：忽略“阿基米德三角形的外接圆过抛物线焦点”“切线交点轨迹与抛物线的对偶关系”

等推论，导致解题时无法利用隐含条件简化计算。

变｜式｜巩｜固

变式1．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形PAB（P为两切线的

交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，

PAB具有以下性质：

①P点必在抛物线的准线上；

②PAPB；

③PFAB．

已知直线l:ykx1与抛物线y24x交于A，B点，若AB8，则抛物线的“阿基米德三角形”PAB的

面积为（）

A．82B．42C．22D．2

变式2．（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其

深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设A,B是抛物线C:x24y上两个不同的点，以

Ax1,y1,Bx2,y2为切点的切线交于P点.若弦AB过点F0,1，则下列说法正确的有（）

A．x1x24

B．若x12，则A点处的切线方程为xy10

C．存在点P，使得PAPB0

D．PAB面积的最小值为4

题型07抛物线中的面积问题

典｜例｜精｜析

23

典例1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2pxp0上一点M,y0到焦点的距离为1．

4

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点P2,0的直线l与抛物线交于A,B两点，且AOB面积为4，求直线l的方程．

典例2．已知点F(1,0)，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.

(1)求C的标准方程.

(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线

交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.

混淆积分上下限，求抛物线与直线围成面积时，未判断函数上下位置，直接积分导致符号错误。

误用面积公式，将抛物线弦与弧围成的“弓形面积”等同于三角形面积，忽略底高的弓形面积公式。

遗漏参数范围，参数方程求面积时，未根据参数对应坐标确定积分区间，或忽略抛物线对称性重复

计算。

忽视绝对值，积分结果为负时未加绝对值，导致面积为负的荒谬结论。

变｜式｜巩｜固

2

变式1．已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，点P2,y0在抛物线上，且|PF|4.

(1)求抛物线C的方程.

(2)已知过点F的直线交抛物线C于A,B两点，AOB的面积为82，求直线AB的方程.

21

变式2．在平面直角坐标系xOy中，已知纵坐标为2的点P是抛物线C:y2pxp0上一点，斜率为

2

的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率之和为0．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设A，B都在x轴下方，且点A在点B的左侧，直线PA，PB与x轴分别交于点D，E，记△PDE，ABE

S2

的面积分别为S1，S2，求的最大值；

S1

33

变式3．已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，Mm,为C上一点，且MF=.

22

(1)求C的方程；

(2)过点P4,0且斜率存在的直线l与C交于不同的两点A,B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x

轴交于点Q.

（i）求点Q的坐标；

（ii）求OAQ与△OAB的面积之和的最小值.

题型08抛物线的向量问题

典｜例｜精｜析

1

典例1．已知A2,0，B2,0，动点M满足直线AM与直线BM斜率之积为．记M的轨迹为C．

2

(1)求C的方程；

(2)过点D1,0作直线l与C相交于P，Q两点，与y轴交于点E，若DPEQ0，求直线l的方程．

典例2．已知抛物线C:x22py(p0)上的两点A,B的横坐标分别为4,8,AB65.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点Q0,8的直线l与抛物线C交于点M,N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这

个定点；若不过定点，请说明理由.

坐标代入失误：用向量条件转化坐标时，混淆向量点乘、共线的代数表达式，如把FAFB0错算

成坐标和为0。

忽略抛物线范围：利用向量共线、垂直列方程后，未验证解是否满足抛物线定义域（如y22px中

x0），导致增根。

性质套用混淆：误将焦点弦的向量坐标关系（2）套用到普通弦上，或向量模长计算漏开平

y1y2p

方。

向量方向忽视：涉及向量投影、分点时，未区分向量方向，导致分点比例符号错误。

变｜式｜巩｜固

变式1．已知直线l：kxyk0分别与x轴，直线x=1交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线

上的一点（P不在x轴负半轴上）且tanABPk.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足AEAM0，延长MA交C于点N，求EMNF的最小值.

变式2．已知抛物线C:y22px经过点P2,4，过点Q0,2的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B，

且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

(1)求抛物线C的方程；

(2)①求直线l的斜率的取值范围；

pp

②若O为原点，将上述P,Q两点坐标改为P,p,Q0,，且满足QMQO,QNQO，其他条件不

22

11

变，试探究是否为定值，并说明理由．

题型09抛物线的斜率问题

典｜例｜精｜析

2

典例1．已知抛物线C:y2pxp0焦点为F，点M2,m在C上，且MF3.

(1)求抛物线C的焦准距；

(2)若A,B在抛物线C上，直线OA经过点E1,1，直线BE平行于x轴，证明：直线AB经过焦点F.

222

典例2．设抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，Px0,y0是C上一点且|PF||PF|x0x0，直线l经

过点Q(8,0)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)①若l与C相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；

②若l与C在第一象限内的两个不同交点为A,B，且Q关于原点O的对称点为R，证明：直线AR,BR的倾斜

角之和为π．

角度相等转斜率关系时，混淆到角公式与夹角公式，忽略到角的方向差，直接套用夹角公式致错。

直角条件转化失误，误将两直线垂直的斜率积−1，套用到斜率不存在的情况，遗漏垂直于对称轴的

直线。

利用斜率求角度时，忽视抛物线定义域，未验证斜率对应的点是否在抛物线上，出现增根。

角度和差公式与斜率结合时，计算三角恒等变换出错，导致斜率关系推导错误。

变｜式｜巩｜固

变式1．已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，M(m,2)是抛物线C上一点，且|MF|2．

(1)求抛物线C的方程．

(2)若P4,y0y00是抛物线C上一点，过点Q(1,4)的直线与拋物线C交于A,B两点（均与点P不重合），

设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

2

变式2．已知抛物线C：y2px的焦点为F，抛物线C上点M2,y0满足MF3.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点D1,0，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：x1是AFB的角平分线.

题型10抛物线的定点、定线问题

典｜例｜精｜析

典例1．已知抛物线C:y22px的焦点为F，点F在直线2x3y20上，A,B是抛物线C上两个不同的

点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线OA,OB的斜率为kOA,kOB，若kOAkOB2，证明：直线AB过定点，并求定点坐标.

22

y0y0

法二：当直线AB的斜率不存在时，设A,y0,B,y0，

44

典例2．已知抛物线E:x22py(p0)的焦点F关于直线yx1的对称点为

(2,1)，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴

右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线l1,l2,l3，l1与l2,l3分

别交于点P和Q，直线l2与l3交于点M．

(1)求E的方程；

(2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上；

(3)若PMQ是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点，

参数分离不彻底：设直线方程时，未将含参数项与常数项分离，无法提取恒成立条件，导致漏找定

点。

特殊情况验证缺失：仅用一般斜率情况推导定线，忽略斜率不存在或为0的情形，造成定线范围不

全。

变量混淆：将抛物线参数p与直线参数混为一谈，推导时误消关键参数，得出错误定点坐标。

性质套用错误：把焦点弦相关定线结论套用到普通弦上，忽视结论的适用前提。

变｜式｜巩｜固

变式1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F1，0，且与直线x=1相切，设动圆的

圆心Q的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过y轴上点P的直线l与C相切于点A，过P且垂直于l的直线交C于M，N两点，B为线段MN的中点，

证明：直线AB过定点．

变式2．已知抛物线E的顶点在坐标原点O处，对称轴为x轴，且过点T2,4，A，B是E上两个动点．

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)已知F是E焦点，若点F，T在以AB（异于点T）为直径的圆上，求直线AB的方程；

(3)已知P为直线OT在第二象限内一点，直线PA，PB与抛物线E分别相切于A，B两点，设PA，PB与y

轴分别交于M，N两点，证明：直线AN与直线BM的交点在定直线上．

题型11抛物线的交点及数列问题

典｜例｜精｜析

典例1．已知F为抛物线E:y22px(p0)的焦点，点C(4,0)满足|CF|3|OF|，其中O为坐标原点，过F

的直线交E于A.B两点，点A在第一象限，过点A作直线AB的垂线，交x轴正半轴于点M，直线BC交

直线AM于点N．记ACF,BCF,CMN的面积分别为S1,S2,S3．

(1)求E的准线方程；

11

(2)证明：1；

|AF||BF|

(3)求S1S2S3的最小值及此时点A的坐标．

5

典例2．抛物线C:y22px0p4的焦点为F，C上纵坐标为2的点到F的距离为.对每个正整数n，

2

Pnan,bn是C上的点且在第一象限，过焦点F的直线FPn交C于另一点Qncn,dn.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求证：bndn1n1；

取2n1，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含

(3)an2TnCPnQnFT1FT2FTn

n的式子表示）.

交点坐标推导失误：联立抛物线与直线方程求交点时，计算韦达定理的根与系数关系出错，导致数

列通项的坐标基础错误。

数列模型混淆：误将交点横坐标/纵坐标的等差、等比关系套反，或忽视数列项数与交点个数的对

应关系，出现多算、漏算项的问题。

p2

性质滥用：把焦点弦的坐标乘积性质（xx）套用到普通弦的交点数列中，导致通项公式推导

124

偏差。

求和边界遗漏：数列求和时，未根据抛物线定义域限制交点坐标范围，导致求和的项数边界错误，

结果偏离。

递推关系断裂：由交点坐标构造递推公式时，忽略前后项的几何关联（如切线交点、中点轨迹），

造成递推逻辑不成立。

变｜式｜巩｜固

2

变式1．已知抛物线Γ：x2y，圆C：x2y21，O为坐标原点.

(1)求抛物线Γ的焦点坐标和准线方程；

(2)已知点P2,2，M、N是抛物线Γ上的两个点，满足直线PM，PN均与圆C相切，判断并证明直线MN

与圆C的位置关系；

(3)若直线l：ykxmk0分别与抛物线Γ交于点Ax1,y1，Bx2,y2x1x2，与圆C交于点Sx3,y3、

Tx4,y4x3x4，且OAT与OBS面积相等，求m的取值范围.

变式2．已知点M到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点P1(t,t1)(t0)在C上，过P1

作斜率为1的直线交C于另一点Q1，设P2与Q1关于x轴对称，过P2作斜率为1的直线交C于另一点Q2，

设P3与Q2关于x轴对称，……，以此类推，设Pnxn,yn．

(1)求C的方程；

111

(2)设数列的前n项和为Tn，证明：Tn；

xnyn32

(3)求PnPn1Pn2的面积．

229

变式3．已知抛物线C:x2pyp0的焦点为F，P为圆x2y31上的动点，PF的最大值为．

2

(1)求C的方程；

1L

(2)已知点M11,，按照如下方式构造点Mnn1,2,3,4,，设直线ln为C在点Mn处的切线，过点Mn作

2

ln的垂线交C于另一点Mn1，记Mn的坐标为xn,yn．

①证明：当n1时，MnF2n1；

n13

△

②设MnFMn1的面积为Sn，证明：2．

k1Sk8

一、单项选择题

x2

1．（2025·湖南长沙·一模）已知抛物线C:y的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，

4

垂足为M.若MFPF，则PF（）

A．2B．3

C．4D．23

2

2．（2025·广东湛江·二模）已知抛物线C:y2pxp0与直线l:xy30交于A，B两点，且线段AB

中点的横坐标为7，则p（）

A．1B．2

C．3D．4

2

3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线y2pxp0的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物

线于A,B两点，若AF2BF，则sinOAF（）

26

A．B．

99

13

C．D．

33

4．（2025·江西·二模）已知抛物线C:x28y的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，若

FM3FN0，则OMN的面积为（）

16383

A．B．

33

C．163D．43

5．（2025·北京大兴·三模）已知点P(x,y)是准线为l的抛物线x24y上一动点，PMl于点M，点Q(22,0)，

则|PM||PQ|的最小值是（）

A．1B．2

C．3D．4

6．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知抛物线C：y28x