《高考数学备考指南》教学课件-04导数及其应用

导数及其应用第四章第1讲导数的概念及运算栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1(x0，y0)切线斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)2.基本初等函数的导数公式02．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(

)4．(2020年天津二模)已知函数f(x)＝x(a＋lnx)，且f′(e)＝1，则a等于________．【答案】－1【解析】求导，得f′(x)＝a＋lnx＋1.又f′(e)＝1，所以f′(e)＝a＋1＋1＝1，解得a＝－1.1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(

)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(

)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×重难突破能力提升2导数的运算【规律方法】(1)导数运算的原则先化简解析式，再利用导数的运算法则求导．(2)导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f′(x0)，a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导导数的几何意义【考向分析】导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．常见的考向：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求与切线有关的参数值(或范围)；(4)公切线问题．【规律方法】(1)求切线方程的方法①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．导数几何意义的综合应用【规律方法】解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根．构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可．【跟踪训练】2．过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有(

)A．3条 B．2条C．1条 D．0条【答案】A追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b的值为(

)A．1

B．2C．1－ln2

D．2－ln2【考查角度】导数的几何意义及其应用．【考查目的】考查抽象概括能力，体现数学运算的核心数学素养．【思路导引】分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b的值．【拓展延伸】1．“过某点”与“在某点”的区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．(2)利用导数公式求导数时，要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线．同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(

)A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1

D．a＝e－1，b＝－1【答案】D2．(2019年新课标Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．【答案】y＝3x【解析】由y＝3(x2＋x)ex，可得y′＝3[(2x＋1)ex＋(x2＋x)ex]＝3(x2＋3x＋1)ex，则y′|x＝0＝3，所以所求切斜斜率为3，切线方程为y＝3x.3．(2019年江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．【答案】(e,1)导数及其应用第四章第2讲导数在研究函数中的应用高考要求考情分析1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会利用导数解决某些简单的实际问题导数在研究函数中的应用，主要从单调性、极值、最值三个方面考查，在解答题中几乎每卷必考，而且有一定的难度，考查逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养．利用导数研究生活中的优化问题考查频率较低，考查数学建模和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的单调性与导数(1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上________；(2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上________；(3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立⇔函数f(x)在区间D上是________．[特别提醒]讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．递增递减常函数2.函数的极值与导数><<>大小大小[特别提醒](1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，且最大(小)值必在区间端点或极值点处取得．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则______为函数的最大值，______为函数的最小值．[特别提醒]求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．f(a)f(b)f(a)f(b)4.利用导数解决生活中的优化问题的基本思路1．(教材习题改编)如图所示是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】A2．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)【答案】D5．(2019年辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________.【答案】－18【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．又因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以M＝1，N＝－19.故M＋N＝－18.1．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理地解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(

)(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性．(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(

)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(

)(5)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．(

)(6)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√重难突破能力提升2利用导数研究函数的单调性、求单调区间(2)要使f(x)在(－2,3)上为减函数，则f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立，即a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又因为－2<x<3，所以e－2<ex<e3，只需a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．【规律方法】(1)确定函数单调区间的步骤①确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．函数单调性的应用【规律方法】(1)利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．(2)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．(3)根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．②f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．利用导数研究函数的极值【考向分析】函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题．常见的考向：(1)由图象判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数．【答案】D【解析】由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，f(x)没有极值，不合题意．若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

极小值－12

极大值－

【规律方法】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．利用导数求函数的最值【规律方法】(1)利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．利用导数解决生活中的优化问题【规律方法】(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；②求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；④回归实际问题作答．(2)如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】利用导数研究函数的单调性及由不等式的恒成立求解参数范围．【考查目的】考查分类讨论、转化与化归等思想及逻辑推理的能力，体现数学运算的核心素养．【思路导引】(1)先对g(x)求导，然后结合导数与单调性的关系可求g(x)的单调区间；(2)结合已知条件构造函数，结合结论转化为求解新函数的值域．【拓展延伸】1．函数的定义域求函数的单调区间应遵循定义域优先的原则．2．函数在区间(a，b)内单调的条件(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件为：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．3．求函数单调区间的步骤第一步：求函数f(x)的定义域；第二步：求导数f′(x)；第三步：在函数定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；第四步：确定f(x)的单调区间．【真题链接】

1．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．2．(2018年江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．【答案】－33．(2018年北京)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．4．(2019年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．导数及其应用第四章第3讲导数的综合应用高考要求考情分析1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题．2．会利用导数解决某些简单的实际问题高考中将利用导数研究函数性质、极值、最值以及不等式证明、函数零点、恒成立等诸多问题结合在一起考查，注重对函数与方程、分类讨论、数形结合及转化与化归等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和核心素养的考查，难度较大栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．2.导数在综合应用中使用转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题．2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(

)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C3．已知定义在实数集R内的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R内恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,2)1．利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a<f(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到．2．实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(

)(2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(

)(3)函数f(x)＝x2lnx没有最值．(

)第1课时导数在不等式中的应用

重难突破能力提升2构造函数证明不等式【规律方法】1.证明不等式的基本方法(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)；②∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)．对于减函数有类似结论．(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)．2．证明f(x)<g(x)可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.先通过化简、变形，再移项构造不等式，通常能减少运算量，使得问题顺利解决．利用“若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式【规律方法】(1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题．(2)在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．不等式恒成立或有解问题【规律方法】(1)破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围．(2)利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围．【规律方法】(1)含参数的能成立(存在型)问题的解题方法①a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；②a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.(2)含全称、存在量词不等式能成立问题①存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；②任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】利用导数研究函数的极值和最值、解决不等式问题．【考查目的】考查运算求解和推理论证能力，体现数学运算和逻辑推理的核心素养．【思路导引】(1)对函数求导，分类讨论根据函数有唯一极小值点的条件，求出实数a的范围；(2)对所要证明的式子进行变形，构造函数，利用导数研究新构造函数的单调性进而可证．【拓展延伸】恒(能)成立问题的转化策略若f(x)在区间D上有最值，则(1)恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0；∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0.(2)能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0；∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0.【真题链接】

导数及其应用第四章第3讲导数的综合应用第2课时导数与函数的零点栏目导航02追踪命题直击高考01重难突破能力提升03配套训练重难突破能力提升1判断零点的个数【规律方法】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．已知函数零点个数求参数的取值范围(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有