五年级奥数包含排除法讲解

探秘五年级奥数：轻松掌握“包含排除法”同学们，大家好！在我们的数学学习中，常常会遇到一些需要我们“数数”的问题。有时候，这些“数”并不是简单地1、2、3累加，尤其是当某些数量之间存在重叠和交叉时，一不小心就容易数重了或者数漏了。今天，我们就来学习一种专门解决这类“重叠问题”的巧妙方法——包含排除法，也叫容斥原理。掌握了它，很多看似复杂的计数问题都会变得迎刃而解哦！一、什么是“包含排除法”？想象一下，你有两个喜欢的活动，比如画画和唱歌。班里有很多同学也喜欢这些活动。有的同学只喜欢画画，有的同学只喜欢唱歌，还有的同学既喜欢画画又喜欢唱歌。如果老师想知道，班里喜欢画画或者喜欢唱歌的同学一共有多少人，你会怎么算呢？如果我们简单地把喜欢画画的人数和喜欢唱歌的人数加起来，那么那些“既喜欢画画又喜欢唱歌”的同学就被我们算了两次，对不对？这就重复啦！所以，我们需要把多算的这一次给“排除”掉。“包含排除法”的名字就是这么来的：先把所有相关的数量“包含”进来，然后再把重复“包含”的部分“排除”出去，这样就能得到准确的结果。二、两个集合的包含排除我们刚才说的喜欢画画和喜欢唱歌的同学，其实就可以看作两个“圈子”（在数学上叫做“集合”）。一个圈子里是喜欢画画的同学，另一个圈子里是喜欢唱歌的同学。两个圈子重叠的部分，就是那些两个活动都喜欢的同学。基本公式（两个集合）：如果我们用A表示喜欢画画的人数，用B表示喜欢唱歌的人数，用C表示既喜欢画画又喜欢唱歌的人数（也就是重叠部分），那么，喜欢画画或者喜欢唱歌的总人数就是：总人数=A+B-C为什么要减去C呢？因为在A+B的时候，C这部分同学被加了两次，所以要减去一次，把重复的部分去掉。我们来举个具体的例子：五年级（1）班有学生40人。在一次课外活动中，参加书法组的有25人，参加美术组的有20人，其中有10人两个组都参加了。问：有多少人只参加了一个组？有多少人没有参加这两个组？分析与解答：首先，我们可以求出参加了书法组或者美术组的总人数。这里A=25（书法组），B=20（美术组），C=10（都参加）。根据公式，参加了至少一个组的人数为：25+20-10=35（人）。那么，只参加了一个组的人数怎么算呢？只参加书法组的人数=参加书法组的人数-两个组都参加的人数=25-10=15（人）。只参加美术组的人数=参加美术组的人数-两个组都参加的人数=20-10=10（人）。所以，只参加一个组的总人数是15+10=25（人）。没有参加这两个组的人数，就是全班总人数减去参加了至少一个组的人数：40-35=5（人）。你看，是不是很清晰？三、三个集合的包含排除（初步认识）有时候，我们会遇到三个甚至更多“圈子”重叠的情况。比如，喜欢画画、唱歌和跳舞的同学。这时，包含排除法的原理还是一样的，但计算起来会稍微复杂一些。不过别担心，五年级奥数中，我们主要掌握两个集合的情况，对三个集合有个初步了解就好。简单来说，三个集合A、B、C的总数量，就是先把A、B、C加起来，然后减去A和B重叠的部分，A和C重叠的部分，B和C重叠的部分。但是，这样一来，三个集合都重叠的部分（也就是三个圈子共同的部分）就被减了太多次，所以最后还要再加回来一次。公式可以简单表示为：总人数=A+B+C-AB重叠-AC重叠-BC重叠+ABC重叠这个公式看起来有点长，但只要理解了“包含”和“排除”的反复过程，也能慢慢搞明白。我们可以把它想象成给蛋糕裱花，先把整块蛋糕都涂上奶油（包含所有），然后把挤多了的地方刮掉（排除重复），如果刮得太狠了，再补一点点回来（再包含回来）。四、例题解析与实战技巧例题1：学校图书馆买来一批新书，其中故事书有50本，科技书有40本，既买了故事书又买了科技书的有15本。问：学校图书馆这次一共买了多少本新书？思路点拨：这是一个典型的两个集合包含排除问题。故事书和科技书是两个集合，15本是它们重叠的部分。解答：50+40-15=75（本）答：学校图书馆这次一共买了75本新书。例题2：五年级（2）班有38名同学，参加数学竞赛的有26人，参加作文竞赛的有22人，两项竞赛都没参加的有5人。问：两项竞赛都参加的有多少人？思路点拨：题目告诉了我们总人数和两项都没参加的人数，那么我们可以先求出至少参加了一项竞赛的人数。然后，再根据包含排除法的公式，反过来求出重叠部分（两项都参加的人数）。解答：至少参加一项竞赛的人数：38-5=33（人）设两项都参加的人数为x。根据公式：26+22-x=3348-x=33x=48-33=15（人）答：两项竞赛都参加的有15人。小技巧：1.画图是法宝！解决这类问题，画“韦恩图”（也就是画圈圈）非常有帮助。用圆圈代表不同的集合，重叠部分标出来，能让数量关系一目了然。2.明确每个数字的含义：仔细读题，搞清楚每个已知数字代表的是哪个集合的数量，是“只参加A”还是“参加A（包括重叠）”。3.灵活运用公式：公式不是死记硬背的，要理解它为什么这么算。有时候需要正向用公式求总数，有时候需要逆向用公式求重叠部分。五、巩固练习好了，学习了这么多，现在是检验成果的时候啦！同学们来试试下面这两道题吧。练习题1：一个班有45人，会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会下的有12人。问：两种棋都会下的有多少人？练习题2：某班同学参加语文、数学期末考试，语文得优的有25人，数学得优的有30人，语文和数学都得优的有15人。问：只有语文得优的有多少人？只有数学得优的有多少人？至少有一科得优的有多少人？（做完之后，可以和同学或老师对一对答案哦！）六、总结“包含排除法”是解决计数问题中“重叠”现象的有力工具。它的核心思想就是“先包含，再排除，多退少补”。同学们在运用的时候，一定要仔细分析题