东北大材料成型自动控制基础讲义02控制系统的数学模型

材料成形自动控制基础Email:zhangfb@2011年3月14日星期一1■线性系统微分方程的建立■非线性模型的线性化方法■Laplace变换的定义及性质■传递函数的定义及性质■控制系统中的典型环节及其传递函数在自动控制系统的设计中，为了使所设计的闭环自动控制系统的暂态性能满足要求，必须对系统用来描述系统暂态过程的数学表达式便称为系统的数学模型。常用的数学模型有：微分方程、传递函数、结构框图、信号流图等。建立系统数学模型的常用方法：①理论分析法②系统辨识法。可以兼用理论分析和系统辨识法2011年3月14日星期一3线性系统：能够用线性微分方程描述的系统。若该定常系统；若这些系数是时间或输入的函数，相应如果系统只有一个输入量和一个输出量，相应的系统称为单输入单输出系统（SISO）。经典控制理论研究的对象就是线性定常单输入单输出系统。非线性系统：只能够用非线性微分方程描述的系统P12P12、P132011年3月14日星期一22011年3月14日星期一4线性系统线性系统 xo1(t)+xo2(t)线性系统xi xo1(t)+xo2(t)线性系统k.xo1(t)线性系统k.xo1(t)线性系统2011年3月14日星期一5[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。LLRuo输出这是一个线性定常二阶微分方程。[例2-2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。FFkxmxfxmxkmf图1F根据牛顿第二定律，可列出质量块的力平衡方程如下：mx+fx+kx=F这也是一个二阶定常微分方程。x为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg,N.s/m,N/m2011年3月14日星期一7[需要讨论的几个问题]：1、相似系统：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。可见，不同类型的系统可以有相同形式的数学模型。[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。xo1(t)xi1(t)xo2(t)xo1(t)xi1(t)xo2(t)xi2(t)[解]：据基尔霍夫电路定理：[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。2011年3月14日星期一62011年3月14日星期一82、非线性元件（环节）微分方程的线性化如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统。在经典控制领域，主要研究线性定常控制系统。其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。而非线性系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项，可以得到近似的线性方程。2011年3月14日星期一93、线性系统微分方程的一般表达式为：dnxdnadtn+an_1dtn_1+...+a1dt+a0x0nmdtmmdtm以微分方程为基础来分析控制系统的性能，最直接的方法就mdtmmdtm以微分方程为基础来分析控制系统的性能，最直接的方法就是求解微分方程，获得被控量的时间函数曲线x0(t)，然后根据该曲线对系统的性能进行评价。采用拉氏变换的方法，把微分方程转化为简单的代数方程，把复杂的微分方程求解及分析过程转变为对代数方程的求解及分析过程，大大方便了应用。2011年3月14日星期一104、复习拉氏变换①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，当t<0时，f(t)=0；当t≥0时，f(t)的拉式变换定义为：式中s为复数，s=σ+jw一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)连续或分段连续；F(s)—象函数，f(t)—原函数。记f(t)=L_1[F(s)]为反拉氏变换。2011年3月14日星期一11例2-3：单位阶跃函数的拉式变换2011年3月14日星期一12例2-4：单位斜坡函数的拉式变换单位斜坡函数定义为，f2011年3月14日星期一13常用函数的拉式变换2011年3月14日星期一142011年3月14日星期一15②拉式变换的性质：⑵微分定理：若f(t)及其小于n-1的各阶导数的初值均为L[f(n)(t)]=snF(s)⑶积分定理：若f(t)及其各重积分的初值均为零，则有，2011年3月14日星期一16⑴时滞定理：L[f(t_a)]=e_asF(s)⑸复数域的位移定理：L[e_atf(t)]=F(s+a)工程应用中常采用部分分式法，先将一个复杂的象工程应用中常采用部分分式法，先将一个复杂的象函数变成若干个简单的标准形式象函数之和，然后通过查表，分别查出各个标准象函数的原函数，其172011年3月14日星期一19182011年3月14日星期一202011年3月14日星期一⑶初值定理：sF⑦终值定理：sF2011年3月14日星期一2011年3月14日星期一212011年3月14日星期一222011年3月14日星期一232011年3月14日星期一242011年3月14日星期一252011年3月14日星期一262011年3月14日星期一272011年3月14日星期一282011年3月14日星期一292011年3月14日星期一302011年3月14日星期一31例：求象函数F的拉氏反变换k113s3k12s32011年3月14日星期一322011年3月14日星期一33材料成形自动控制基础第2章控制系统的数学模型2.1-2.2微分方程及拉氏变换2016年3月18日星期五12016年3月18日星期五22016年3月18日星期五3xi1(t)xo1(t)xi2(t)xi1(t)xo1(t)xi2(t) xo2(t)xi1(t)+xi2(t) xxi1(t)+xi2(t)k.xo1(t)k.xo1(t)2016年3月18日星期五4LLCuoFkmFFkmmxfxf统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系ui输入uo输出2016年3月18日星期五52016年3月18日星期五6[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模2016年3月18日星期五72016年3月18日星期五82016年3月18日星期五9①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，当t<0式中s为复数，s=σ+jw⑴t<0时，f(t)=0；记f(t)=L_1[F(s)]为反拉氏变换。2016年3月18日星期五102016年3月18日星期五11单位斜坡函数定义为，f2016年3月18日星期五122016年3月18日星期五132016年3月18日星期五14(t)+βf2(t)]=αF1(s)+βF2(s)⑵微分定理：若f(t)及其小于n-1的各阶导数的初值均为L[f(n)(t)]=snF(s)2016年3月18日星期五15⑷时滞定理：L[f(t_a)]=e_asF(s)⑸复数域的位移定理：L[e_atf(t)]=F(s+a)2016年3月18日星期五16⑹初值定理：J(t)=sF(s)⑺终值定理：J(t)=sF(s)2016年3月18日星期五172016年3月18日星期五182016年3月18日星期五192016年3月18日星期五202016年3月18日星期五212016年3月18日星期五222016年3月18日星期五232016年3月18日星期五242016年3月18日星期五252016年3月18日星期五262016年3月18日星期五272016年3月18日星期五282016年3月18日星期五292016年3月18日星期五30例：求象函数F的拉氏反变换解：F2016年3月18日星期五312016年3月18日星期五32材料成形自动控制基础2.3传递函数(ansn+an_1sn_1+…+a1s+a0)X0(s)=(bmsm+bm_1sm_1+…+b1s+b0)Xi(s)当传递函数和输入已知时X0(s)=G(s)Xi(s)。通过反变换可求出时C1RuRuR1u22OR1)I1(s)_R1I2(s)=0_R1I1(s)+(R1+R2)I2(s)=Ui(s)R2I2(s)=UO(s)RRCR+RT=12α=Ri上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。表示Kg式中：_zi称为传递函数的零点，_pj称为传递函数的极点。K=bm传递系数ganτT分别称为时间常数，K称为放大系数τT分别称为时间常数，K称为放大系数p2从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。下面介绍这些典型环节的传递函数及其KK时域方程：y(t)=kx(t),t≥0比例环节方框图传递函数：Gk比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大（二）惯性环节（P23）微分方程：Ty'(t)+y(t)=x(t),t≥011惯性环节方框图惯性环节的实例请阅读教材p23，例2-11，2（三）积分环节（P25）：时域方程：ydt,t≥0ζ-阻尼比；振荡环节的方框图见教材p26，图2-26振荡环节的实例请阅读教材p26，例2-18，21s积分环节方框图积分环节的实例请阅读教材p25，例2-16，2①y(t)=x'(t)②y(t)=τx'(t)+x(t)③y(t)=τ2x''(t)+2ζτx'(t)+x(t)①G(s)=s②G(s)=τs+1③G(s)=τ2s2+2ζτs+1延时环节又称时滞环节、迟延环节。延时环节的输入xi与输出xo的之间满足关系式：xo(t)=xi(t_τ)其传递函数为：G(s)=e_τs（七）其他环节：还有一些环节如Ts_1，T2s2_2Tζs+1等。它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这样分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在材料成形自动控制基础2.4系统方框图及其简化2016年3月11日星期五1RR(s)E(s)_B(s)N(s)输出信号输入信号误差信号s)H(s)s)反馈信号2016年3月11日星期五21、信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标2、引出点（或测量点）：表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方3、比较点：表示两个以上的信4、方框：方框中写入元部件U(s)U(s)±R(s)±2016年3月11日星期五C(s)R(s)G1(s)C(s)R(s)G1(s)4C(s)R(s)2016年3月11日星期五3±± s)±G2(s)2016年3月11日星期五5C(s)R(s)G(s)C(s)R(s)±H(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)2016年3月11日星期五6±X(s)±X(s)C(s)G(s)C(s)G(s)±X(s)G(s)R(s)C(s)G(s)G(s)2016年3月11日星期五72016年3月11日星期五G(s)±G(s)G(s)8 R(s)G(s) C(s) C(s) R(s)G(s) C(s)C(s)R(s) C(s)C(s)R(s)G(s)G(s)2016年3月11日星期五X(sX(s)X2(s)X2(s)XX3(s)G(s)X(s)±X3(s)G(s)±G(s)G(s)2016年3月11日星期五2016年3月11日星期五12例1：例2： R(s)1+G2G3H3+G3G4H4+G1G2G3H2_G1G2G3 2016年3月11日星期五14111R2C2sRR1C2s(s)1 =