2026高考复习-立体几何向量方法

2026高考复习8.6.1立体几何中的向量方法学习要求课程标准解读关联考点核心素养1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．4．理解直线的方向向量及平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．6．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．1．空间向量的线性运算．2．共线、共面向量定理的应用．3．空间向量数量积的应用．4．利用空间向量证明平行或垂直．1．直观想象．2．数学运算．3．逻辑推理．课前自测

×××√2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(

)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°C

〈m，n〉＝45°两平面所成的二面角为45°或135°

如图建立空间直角坐标系D－xyz，

设异面直线DE与AC所成的角为θ，D4．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．所以两直线的夹角为60°.(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.因为a·c＝4，所以b·c＝－18，

所以〈b，c〉＝120°，60°

所以θ＝30°.设l与α所成的角为θ，

30°考点梳理1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝cosβ＝2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝_________．

3．求二面角的大小

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α-­l-­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．4．利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离

(2)点到平面的距离

常见误区!1．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．2．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.典例剖析考点1异面直线所成的角

C所以直线AB1与CD1所成的角为60°.故选C.

以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

设直线AB1与CD1所成的角为θ，

又0°＜θ≤90°，所以θ＝60°，

建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，

C

以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0)，xyz

方法总结

(1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的．求异面直线所成的角的两个关注点考点2直线与平面所成的角[例1](2020·新高考卷Ⅰ)如图，四棱锥P­-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．因此l⊥平面PDC.[例1](2020·新高考卷Ⅰ)如图，四棱锥P­-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.

[例1](2020·新高考卷Ⅰ)如图，四棱锥P­-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

可取n＝(－1，0，a)．

[例1](2020·新高考卷Ⅰ)如图，四棱锥P­-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．设PB与平面QCD所成角为θ，

方法总结求直线与平面所成角的方法(1)定义法①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角．(2)公式法(3)向量法

跟踪训练(2021·石家庄模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°.

解：(1)证明：取AD的中点为O，连接PO，BO，BD，如图，因为底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BO⊥AD.又PA＝PD，即△PAD是等腰三角形，所以PO⊥AD.又PO∩BO＝O，所以AD⊥平面PBO，又PB⊂平面PBO，所以AD⊥PB.

设直线PB与平面PDC所成的角为θ，则

考点3二面角[例2](2020·大同调研)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求二面角C-­DF­-E的余弦值．

[例2](2020·大同调研)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；因为EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，所以EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，所以EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．[例2](2020·大同调研)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．(2)求二面角C-­DF­-E的余弦值．则E(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)．

方法总结(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．利用向量法计算二面角大小的常用方法跟踪训练(2021·贵阳市适应性考试)如图是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为弧A1B1上(不与A1，B1重合)的动点．

解：(1)证明：在半圆柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA1.因为A1B1是直径，所以PA1⊥PB1.因为PB1∩BB1＝B1，PB1⊂平面PBB1，BB1⊂平面PBB1，所以PA1⊥平面PBB1.(2021·贵阳市适应性考试)如图是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为弧A1B1上(不与A1，B1重合)的动点．(1)证明：PA1⊥平面PBB1；(2)以C为坐标原点，分别以CB，CA所在直线为x轴，y轴，过C与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C-­xyz，如图所示．

(2021·贵阳市适应性考试)如图是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为弧A1B1上(不与A1，B1重合)的动点．

随堂练习

B

ABD

60°

5.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BE