第41讲开放与探索型问题

第四篇综合与实践第十章数学问题探究第41讲开放与探索型问题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.1.

条件开放型问题：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.2.

结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.3.

条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性.

类型一

条件开放与探索型问题例1

如图，E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F.

（1）若AD的长为2，求CF的长.

（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数.【答案】（2）添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°－60°＝30°（答案不唯一）.【解后感悟】运用发散思维，探究问题在不同条件下的结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件.

1.在①AD＝AE；②∠ABE＝∠ACD；③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，B重合），点E在AC边上（不与点A，C重合），连结BE，CD，BE与CD相交于点F.

若

，求证：BE＝CD.

（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）【答案】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；若选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；若选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD.

类型二

结论开放与探索型问题例2

某日一港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：x/h…1112131415161718…y/cm…18913710380101133202260…（数据来自某海洋研究所）（1）【数学活动】①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象；【答案】（1）①如图：②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？【答案】②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21.（2）【数学思考】请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论.【答案】（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：①当3≤x≤7时，y随x的增大而增大.②当x＝14时，y有最小值为80.（3）【数学应用】根据研究，当潮水高度超过260

cm时，货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？【答案】（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，即当5＜x＜10或18＜x＜23时，适合货轮进出此港口.【解后感悟】理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题关键.（1）①先描点，然后画出函数图象；②利用数形结合思想分析求解.（2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明.（3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围.

2.

小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24.小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式

2×3×5－6（答案不唯一）

.2×3×5－6（答案不唯一）

类型三

条件、结论开放与探索型问题例3

如图，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，求∠DCF的度数.（1）请解答本题.【答案】（1）连结OD，有OA＝OD＝OC，可证∠A＝∠C，设∠A＝∠ODA＝∠ODC＝∠C＝x，在Rt△CFD中，x＋2x＝90°，解得x＝30°，即∠DCF＝30°.

（2）解完本题后，小芳对本题作进一步思考.她认为：如果去掉“CF⊥AD”这一条件，而增加条件“∠CDA＝60°”，则有CF⊥AD.

你认为小芳的观点正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由.【答案】（2）小芳观点正确.理由：连结OD，由题意易证∠ODA＝∠A＝30°，∠C＝∠ODC＝30°，∴∠ADC＋∠C＝90°，即CF⊥AD.

（3）解完本题后，小颖也对本题进行了反思.她认为：在图中所有的线段中，若已知某一条线段的长度，则能求出扇形AOC的面积.请你在“CD，EB，DF”这三条线段中，选择其中一条并给出长度，然后计算扇形AOC的面积.

【解后感悟】本题第（3）题通过条件局限开放，让学生的探究有方向性，当找到CD，EB，DF三条线段与半径r之间的关系时，就可对三条线段赋出合理的值求得结果.

3.

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°.（1）求证：△ABF≌△CDE.

【答案】（1）证明：∵BE＝FD，∴BE＋EF＝FD＋EF，即BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，又∵∠BAF＝∠DCE＝90°，∴△ABF≌△CDE（AAS）.（2）连结AE，CF，已知

（从以下两个条件中选择一个作为已知条件，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论.条件：①∠ABD＝30°；②AB＝BC（注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分）.

若选择条件②，四边形AECF是菱形.证明：如图2，连结AC交BD于点O，由（1）得△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形.

【经验积累题】已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝

20

°，β＝

10

°；②求α，β之间的关系式.20

10

【答案】（1）②设∠ABC＝x，∠AED＝y，则∠ACB＝x，∠ADE＝y，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，因此α＝2β.

（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，请说明理由.【答案】（2）存在；答案不唯一，如：①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，即α＝2