全品高考备战2027年数学一轮学生用书08第46讲空间角【正文】听课手册

第46讲空间角【课标要求】能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的角叫作异面直线a与b所成的.

(2)范围:.

(3)求法:①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cosθ=|cos<u,v>|=u·v|u2.线面角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是π2;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0(2)直线与平面所成的角的取值范围:.

(3)求法:①几何法:求直线与平面所成角的关键是作出直线在平面上的射影,常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质确定直线上一点在平面上的射影.②向量法:如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos<u,n>|=u·n|u3.二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图).

(2)范围:[0,π].(3)求法:①几何法:找到二面角的棱的一个垂面,即可确定平面角,作二面角的平面角的常用方法是在二面角的棱上任取一点O,以点O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB即为二面角的平面角.②向量法:若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cos<n1,n2>|=n1·n2|特别注意:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中的二面角称为平面α与平面β的夹角.

题组一常识题1.[教材改编]设直线a的一个方向向量为a=(-1,2,1),平面α的一个法向量为b=(0,1,2),则直线a与平面α所成角的正弦值为.

2.[教材改编]已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个平面的夹角为.

3.[教材改编]如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值为.

题组二常错题◆索引:线面角取值范围出错;异面直线夹角取值范围出错;二面角取值范围出错,二面角与平面夹角混淆.4.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-12,则l与α所成的角为5.如图,圆锥的高SO=3,底面直径AB=2,C是圆O上一点,且AC=1,则SA与BC所成角的余弦值为.

6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为,二面角B-A1C1-D1的余弦值为,平面A1BC1与平面A1C1D1的夹角的余弦值为.

异面直线所成的角例1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AB=BB1=4,E,F分别是A1D1,CD的中点,则异面直线A1F与B1E所成角的余弦值为 ()A.10234 B.-C.55 D.总结反思求异面直线所成角的方法:1.定义法定义法求异面直线所成角的步骤(1)找或作:在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直线所成的角.(2)证:说明所作的角是异面直线所成的角.(3)算:寻找或作出含有此角的三角形并解之.(4)取舍:因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.2.向量法向量法又分为坐标法和基本向量法,利用公式|cosθ|=|m·n|变式题在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=2,AC=2,BC=22,PA=3,D为PB的中点,则异面直线AD与PC所成角的余弦值为 ()A.21515 BC.514 D.直线与平面所成的角例2如图,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(1)证明:EF⊥DB;(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.

总结反思(1)用几何法求线面角的三个步骤:一作(找)角,二证明,三计算.其中作(找)角是关键,先找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线、找垂足,然后把线面角转化到三角形中求解.也可以利用等体积法直接求出直线上一点到平面的距离,使问题得到解决.(2)对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量法来解决;如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决.变式题[2026·江苏南通质检]如图,已知圆台OO1的上、下底面半径分别为3和6,母线与下底面所成的角为30°.(1)求圆台OO1的体积.(2)设AA1,BB1分别是圆台OO1的两条母线.(i)求证:AB∥A1B1;(ii)若∠AOB=120°,P是圆O1上的动点,求直线OP与平面O1AB所成角的正弦值的最大值.

平面与平面的夹角例3如图,三棱柱ABC-A1B1C1的高为3,D,E,F分别是BC,A1C1,B1C1的中点,AB⊥平面ACC1A1,AB=AC=AA1=2.(1)证明:A1D∥平面EFC;(2)求平面EFC与平面ABB1A1的夹角.

总结反思(1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角.(2)求解平面与平面夹角的大小问题时,对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出两个平面的法