全品高考备战2027年数学一轮备用题库06第34讲平面向量的综合问题【答案】作业手册

第34讲平面向量的综合问题1.D[解析]由AC=AB+AD,可得AB+BC=AB+AD,所以BC=AD,所以BC∥AD且BC=AD,所以四边形ABCD为平行四边形.由AC·BD=0,可得四边形ABCD的对角线互相垂直,所以四边形ABCD一定是菱形.故选D.2.D[解析]如图,设BC的中点为D,连接AD,因为点P是△ABC的重心,所以P在AD上,且AP=23AD=23×12(AB+AC)=13(2AB+BC)=23AB+13BC=23(AC+CB)+13BC=23.A[解析]因为m⊥n,所以bsin2A-asinB=0,即2bsinAcosA-asinB=0,由正弦定理可得2sinBsinAcosA-sinAsinB=0,又因为A,B∈(0,π),所以2cosA-1=0,即cosA=12,所以A=π3.故选4.B[解析]由|AB-AD|=|AB|,得|DB|=|AB|,又四边形ABCD是菱形,所以△ABD是正三角形,于是∠BAD=π3,AD·AB=|AD||AB|cosπ3=12|AB|2,因此AD在AB上的投影向量为AD·AB|AB|2·AB=5.B[解析]如图,设OA=a,OB=b,则|a-tb|为直线OB上的点C与点A之间的距离.当t=12时,|a-tb|取得最小值,可知此时C为线段OB的中点且AC⊥OB,又|a|=|b|,所以<a,b>=∠AOC=π3.故选6.外心[解析]设M为BC的中点,若AC2-AB2=2AO·BC,则AC2-AB2=(AC+AB)·(AC-AB)=2AM·BC=2AO·BC,则有(AO-AM)·BC=MO·BC=0,所以MO⊥BC,所以动点O在线段BC的中垂线上,则点O的轨迹必经过7.1[解析]如图,延长AG交BC于D,∵G是△ABC的重心,∴AD为△ABC的中线.由AG·AB=AG·AC得AG·AB-AG·AC=0,即AG·(AB-AC)=0,故AG·CB=0,即AD⊥BC,故△ABC是等腰三角形,且AB=AC,则△ABC外接圆的圆心在AD的延长线上,设为O,连接OC,则OA=OC,∵∠OAC=π3,∴△OAC是等边三角形,∴OA=OC=AC=AB=1,即△ABC外接圆的半径为18.B[解析]设AB=AC=1,由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=1+1+1=3,∴BC=3,∠ABC=30°.∵AD平分∠BAC且与BC相交于点D,△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点,BD=32,如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.由图可知向量BD在BA上的投影向量为BE,又|BE|=|BD|cos30°=34,∴|BE|=34|BA|,∴BE=349.B[解析]令OE1=e1,OE2=e2,OA=a,则a-e1=OA-OE1=E1A,a-e2=OA-OE2=E2A,因为e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以E1E2=2.因为<a-e1,a-e2>=π3,所以∠E1AE2=π3,所以过E1,A,E2的圆C的半径r=E1C=E1E22sin∠E1AE2=22×32=63,连接OC交E1E2于点D,则OD=DE1=12E1E210.ABD[解析]如图,取BC的中点E,连接AE,因为AB=AC=5,所以内心P,外心O,重心G都在中线AE上,且AE⊥BC,AE=AB2-BE2=4,设内切圆半径为r.对于A,由S△ABC=12AE×BC=12r(AB+AC+BC),得12×4×6=12r(5+5+6),解得r=32,故A正确;对于B,因为PE=32,所以AP=4-32=52,所以PE=-35PA,所以6PA+5PB+5PC=6PA+5(PB+PC)=6PA+10PE=6PA-10×35×PA=0,故B正确;对于C,由余弦定理得cos∠BAC=AB2+AC2-BC22AB·AC=25+25-362×25=725,又0<∠BAC<π,所以sin∠BAC=1-cos2∠BAC=2425,所以△ABC的外接圆半径为AO=BC2sin∠BAC=62×2425=258,则OE=4-AO=4-258=78,所以OE=-725OA,所以6OA+5OB+5OC=6OA+5(OB11.BCD[解析]如图,作OA=a,OB=b,OC=c,由|a-c|=|b-c|=34,得|CA|=|CB|=34,可知A,B均在以点C为圆心,34为半径的圆上.由a·b=0,得OA⊥OB,以OA,OB为邻边作矩形OADB,由矩形的性质可知,|CO|2+|CD|2=|CA|2+|CB|2,可得|CD|=34+34-4=8,即点D在以点C为圆心,8为半径的圆上,所以|a-b|=|AB|=|OD|∈[8-2,8+2],即|a-b|∈[6,10].故选12.重心4[解析]由BD=12BC,可得D为BC的中点,所以直线AD一定经过△ABC的重心.由A,N,D三点共线,可设AN=xAD,故AN=12x(AB+AC),又BN=-AB+AN=12x-1AB+12xAC,BE=-AB+23AC,且BE,BN共线,所以12x-1-1=12x213.23[解析]AB|AB|表示与AB同向的单位向量,AC|AC|表示与AC同向的单位向量,∵OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,∴OP-OA=AP=λAB|AB|+AC|AC|,∴点P在∠BAC的平分线上,即AD为∠BAC的平分线.在△ABD中,∠BAD=π3,AD=|AD|=1,利用正弦定理知BD=ADsinB×sinπ3=32sinB.同理,在△ACD中,CD=ADsinC×sinπ3=32sinC,∴BC=BD+CD=32sinB+14.解:(1)DN=CN-CD=34CA+DC=-34AC+23BC=-34AC+23(AC-AB)=-23AB-112AC,EM=BM-BE=-12AB-(2)由题易知BC=2,设BD=λBC,0≤λ≤23,则BE=λ+13BC,所以AD·AE=(AB+BD)·(AB+BE)=AB2+(BD+BE)·AB+BD·BE=2+λBC+λ+13BC·AB+λλ+13BC2=2+2λ+13×2×2×cos3π415.C[解析]如图,作OA=a,OB=b,OC=-ta,因为∀t∈R,不等式|b+ta|≥|b-a|恒成立,所以|OB-OC|≥|OB-OA|,即|CB|≥|AB|恒成立,从而有AB⊥OA,故|OA|=433·cosπ6=2.设OD=xb,OE=12a,则f(x)=|xb-a|+xb-12a=|OD-OA|+|OD-OE|=|AD|+|ED|.作点E关于直线OB的对称点F,则|OF|=1,∠FOA=π3,所以f(x)=|AD|+|ED|=|AD|+|FD|≥|AF|=12+22-16.AD[解析]因为锐角三角形ABC内部的一点O满足OA=OB=OC,所以O为△ABC的外接圆的圆心,圆心O在△ABC内.设外接圆的半径为R,因为12cos∠BACOA+cos∠ABCsin∠ACBAB+cos∠ACBsin∠ABCAC=0,所以12cos∠BACOA+cos∠ABCsin∠ACB(OB-OA)+cos∠ACBsin∠ABC(OC-OA)=0,所以12cos∠BACOA2+cos∠ABCsin∠ACB(R2cos∠AOB-R2)+cos∠ACBsin∠ABC(R2cos从而得12cos∠BAC+cos∠ABCsin∠ACB(cos2∠ACB-1)+cos∠ACBsin∠ABC(cos2∠ABC-1)=0,即12co