全品高考备战2027年数学一轮备用题库06第41讲双数列问题【答案】作业手册

第41讲双数列问题1.D[解析]因为数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,而数列{bn}是首项为1,公差为3的等差数列,所以这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1,公差为6的等差数列,故cn=1+(n-1)×6=6n-5.故选D.2.B[解析]设等比数列{bn}的公比为q,由b1=1且T3=3知,当q=1时,则T3=3b1=3,符合题意,则bn=1,又a2+b2=4,所以a2=3,所以S3=a1+a2+a3=3a2=9;当q≠1时,则T3=b1(1-q3)1-q=3,即1+q+q2=3,解得q=1(舍去)或q=-2,所以bn=(-2)n-1,则b2=-2,又a2+b2=4,所以a2=6,所以S3=a1+a2+a3=3a2=18.综上可得,3.B[解析]令数列1,7,15,27,45,71,107,…为数列{an},于是a7=107,依题意,数列{an+1-an}为6,8,12,18,26,36,…,于是a7-a6=36.数列{(an+2-an+1)-(an+1-an)}为2,4,6,8,10,…,是等差数列,(a8-a7)-(a7-a6)=12,则a8-a7=(a7-a6)+12=36+12=48,因此a8=a7+48=107+48=155,所以该数列的第8项为155.故选B.4.C[解析]将在ak与ak+1之间插入的k个相同的数看成一组,则插入的n组数共n(n+1)2个,因为12×132=78,78+13+9=100,所以数列{bn}的前100项依次为1,-11个,2,2,22个,22,-3,-3,-33个,23,…,211,12,…,1212个,212,-13,…,-139个.因为-n2+(n+1)2=2n+1,所以-1+22-32+42-…-112+122-9×13=3+7+11+15+19+23-9×13=(3+23)×62-117=-39,又数列{an}的前13项和为a1+a2+…+a13=1×5.ACD[解析]对于B,依题意,an+1=2an+bn,bn+1=2bn+an,则an+1+bn+1=3(an+bn),而a1+b1=1,因此数列{an+bn}是首项为1,公比为3的等比数列,则an+bn=3n-1,故B错误.又an+1-bn+1=an-bn,因此an-bn=a1-b1=1,结合an+bn=3n-1,可得an=3n-1+12,bn=3n-1-12.对于A,a4=33+12=14,故A正确;对于C,∑i=15bi=0+1+4+13+40=58,故C正确;对于D,a1+λb1=1,a2+λb2=2+λ,a3+λb3=5+4λ,由{an+λbn}为等比数列,得(2+λ)2=5+4λ,解得λ=1或λ=-1,当λ=1时,an+λbn=an+bn=3n-1,显然数列{an+λbn}是等比数列,当λ=-1时,an+λbn=an-bn=1,显然数列{an+λbn}是等比数列,因此当数列{an6.ACD[解析]对于A,a2=a1+2=4,a3=2a2=8,a4=a3+4=12,则a5=2a4=24,故A正确;对于B,由题意,b1=a2=4,当n≥2时,bn=a2n=a2n-1+(2)2n=2a2n-2+2n=2bn-1+2n,所以bn2n-bn-12n-1=1,则bn2n是以1为公差,b12=2为首项的等差数列,则bn2n=2+(n-1)=n+1,则bn=(n+1)·2n,故B错误;对于C,Tn=b1+b2+…+bn,即Tn=2×21+3×22+4×23+…+(n+1)×2n,所以2Tn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)×2n+1,两式相减得-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1=4+4(1-2n-1)1-2-(n+1)×2n+1=-n×2n+1,所以Tn=n·2n+1,故C正确;对于D,S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=[a2-(2)2]+[a4-(2)4]+…+[a2n-(2)2n]+(a2+a4+…+a2n)=2(a2+a4+…+a2n)-(2+22+…+2n)=2(b1+b2+…+bn)-2(1-2n)1-27.4n-13+23[解析]设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,由已知得ak22=ak1·ak3,∴a22=a1·a6,即(a1+d)2=a1·(a1+5d),得3a1=d,于是在等比数列ak1,ak2,ak3,…,akn中,公比q=ak2ak1=a2a1=a1+da1=a1+3a1a1=4.由akn为数列{akn}的第n项,知akn=ak1·4n-1=a1×4n-1;由a8.29[解析]由题意,数列{bn}为a1,3,321个,a2,3,…,322个,a3,3,…,323个,a4,…,在a1到a5之间3的个数为21+22+23+24=30,故数列{bn}到a5处共有35项,所以数列{bn}前30项中含a1,a2,a3,a4及26个3,故S29=a1+a2+a3+a4+25×3=2+22+23+24-4+75=2+4+8+16-4+75=101,而S28=S299.(-1)n·n(n+1)2[解析]∵bn=(-1)nn2,∴Tn=b1+b2+…+bn=-12+22-32+42-…+(-1)n·n2.当n为偶数时,Tn=-12+22-32+42-…+(-1)n·n2=1+2+3+4+…+n=n(n+1)2;当n为奇数时,Tn=-12+22-32+42-…+(-1)n·n2=-12+22-32+42-…-n2=-12+(22-32)+(42-52)+…+[(n-1)2-n2]=-n(n+1)2.故数列{b10.23985[解析]由题意,将数列{bn}的各项按如下数阵排列:其中第n(n∈N*)行有n+1项,则该数阵中第n行最后一项对应数列{bn}中第2+3+4+…+(n+1)=n(n+3)2项.因为62×652=2015<2024<63×662=2079,且2024=2015+9,所以b2024位于数阵的第63行第9项,故b2024=2.数列{bn}的前2024项中,值为1的共63项,值为2的共2024-63=1961(项),因此S2024=1×63+11.解:(1)设{an}的公差为d(d≠0),由题意知a即4a1可得a1=1,d=2,所以a(2)设数列{bn}的前2n项中的奇数项之和为A,偶数项之和为B,则A=2a1+2a3+…+2a2n-1=21+25+…+24B=1a2a4+1a4a6+…+1a2n所以T2n=A+B=24n+1-215+112-112.解:(1))设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,∵a1=b1=a2-b2=a3-b3=1,∴1+d-q=1,1+2d-q2=1,解得d=q=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2n-1.(2)证明:∵bn+1=2bn≠0,∴要证明(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn,即证明(Sn+1+an+1)bn=2Sn+1·bn-Snbn,即证明Sn+1+an+1=2Sn+1-Sn,即证明an+1=Sn+1-Sn,由数列的通项公式和前n项和的关系得an+1=Sn+1-Sn,∴(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn.13.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意知,当n=1时,a1q=2a1+2①,当n=2时,a1q2=2(a1+a1q)+2②,联立①②,解得a1=2,q=3,所以数列{an}的通项公式为an=2×3n-1.(2)由(1)知an=2×3n-1,an+1=2×3n,所以an+1=an+(n+2-1)dn,所以dn=an+1-设数列{dn}中存在不同的3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列,则dk2=dm·d所以4×3k-1k+12=4×3又因为m,k,p成等差数列,所以2k=m+p,所以(k+1)2=(m+1)(p+1),化简得k2+2k=mp+m+p,所以k2=mp,又2k=m+p,所以k=m=p,与已知矛盾,所以在数列{dn}中不存在不同的3项dm,dk,dp成等比数列.14.解:(1)由A,B,C三点共线,设AB=mBC,则AB=OB-OA=mBC=m(OC-OB),化简得OA=(m+1)OB-mOC,所以λ=m+1,μ=-m,所以λ+μ=1.(2)由题设得an+bn=(λ+μ)(an-1+bn-1)+2=an-1+bn-1