2026年南京高三数学数列试卷及答案

2026年南京高三数学数列试卷及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则S_5的值为（）（2分）A.31B.63C.127D.255【答案】C【解析】由a_n+1=2a_n+1可得a_n=2a_{n-1}+1，即a_n+1=2(a_{n-1}+1)，所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，所以a_n=2^n-1，S_5=1+2+4+8+16=31。2.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+a_n，则a_3的值为（）（2分）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】S_1=a_1=1^2+a_1，解得a_1=-1；S_2=a_1+a_2=2^2+a_2，解得a_2=5；S_3=a_1+a_2+a_3=3^2+a_3，解得a_3=8。3.等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则a_7的值为（）（2分）A.64B.128C.256D.512【答案】C【解析】由等比数列的性质可得q^3=16，解得q=2，所以a_7=2^6=64。4.已知数列{a_n}中，a_1=1，a_{n+1}=a_n+2n，则a_10的值为（）（2分）A.81B.91C.101D.111【答案】B【解析】由a_{n+1}=a_n+2n可得a_n-a_{n-1}=2(n-1)，所以a_n=a_{n-1}+2(n-1)，即a_n=2(n-1)+a_{n-1}，所以a_n=2(1+2+...+(n-1))+a_1=2n(n-1)/2+1=n^2-1+1=n^2，所以a_10=100。5.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n+1/n，则数列{a_n}是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.非等差数列非等比数列【答案】A【解析】S_n=a_n-1/n，所以S_{n-1}=a_{n-1}-1/(n-1)，所以a_n=S_n-S_{n-1}=a_n-1/n-a_{n-1}+1/(n-1)，解得a_{n-1}=1，所以a_n=1，即数列{a_n}是常数列，也是等差数列。6.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，则S_4的值为（）（2分）A.15B.17C.19D.21【答案】A【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}可得S_n^2=S_{n-1}a_n，所以S_n^2=S_{n-1}S_n/S_{n-1}=S_{n-1}^2，所以S_n=S_{n-1}，即数列{S_n}是常数列，所以S_4=1。7.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），则数列{a_n}是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.非等差数列非等比数列【答案】B【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}可得S_n^2=S_{n-1}a_n，所以S_n/S_{n-1}=a_n/S_n，即数列{S_n/S_{n-1}}是常数列，所以数列{a_n}是等比数列。8.等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=17，则a_10+a_11的值为（）（2分）A.27B.37C.47D.57【答案】C【解析】由等差数列的性质可得4d=16，解得d=4，所以a_10+a_11=2a_1+21d=2+84=86。9.等比数列{a_n}中，a_1=1，a_5=32，则a_10-a_9的值为（）（2分）A.31B.32C.64D.128【答案】C【解析】由等比数列的性质可得q^4=32，解得q=2，所以a_10-a_9=a_9(q-1)=32。10.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n（n≥2），且a_1=1，则S_5的值为（）（2分）A.15B.25C.35D.45【答案】A【解析】由a_n=S_n/n可得S_n=S_{n-1}+a_n=S_{n-1}+S_n/(n-1)，所以S_n/(n-1)=S_{n-1}/n，即数列{S_n/(n-1)}是常数列，所以S_n=(n-1)/n，所以S_5=4/5。二、多选题（每题4分，共20分）1.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式是a_n=a_1+(n-1)dB.等比数列的通项公式是a_n=a_1q^{n-1}C.等差数列的前n项和公式是S_n=n(a_1+a_n)/2D.等比数列的前n项和公式是S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)【答案】A、B、C、D【解析】等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式都是正确的。2.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列B.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n^2}也是等比数列C.若数列{a_n}是等差数列，则数列{1/a_n}也是等差数列D.若数列{a_n}是等比数列，则数列{1/a_n}也是等比数列【答案】B、D【解析】若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n^2}和{1/a_n}也是等比数列。3.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+1}}也是等差数列B.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n+a_{n+1}}也是等比数列C.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_na_{n+1}}也是等比数列D.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+1}}也是等比数列【答案】A、D【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+1}}也是等差数列；若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+1}}也是等比数列。4.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+2}}也是等差数列B.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+2}}也是等比数列C.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_na_{n+2}}不是等比数列D.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+2}}不是等比数列【答案】A、B【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+2}}也是等差数列；若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+2}}也是等比数列。5.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}不是等差数列B.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n^2}不是等比数列C.若数列{a_n}是等差数列，则数列{1/a_n}不是等差数列D.若数列{a_n}是等比数列，则数列{1/a_n}不是等比数列【答案】A、C【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}和{1/a_n}不是等差数列。三、填空题（每题4分，共40分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，则S_4的值为__________。（4分）【答案】15【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}可得S_n^2=S_{n-1}a_n，所以S_n^2=S_{n-1}S_n/S_{n-1}=S_{n-1}^2，所以S_n=S_{n-1}，即数列{S_n}是常数列，所以S_4=1。2.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），则数列{a_n}是__________数列。（4分）【答案】等比【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}可得S_n^2=S_{n-1}a_n，所以S_n/S_{n-1}=a_n/S_n，即数列{S_n/S_{n-1}}是常数列，所以数列{a_n}是等比数列。3.等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=17，则a_10+a_11的值为__________。（4分）【答案】47【解析】由等差数列的性质可得4d=16，解得d=4，所以a_10+a_11=2a_1+21d=2+84=86。4.等比数列{a_n}中，a_1=1，a_5=32，则a_10-a_9的值为__________。（4分）【答案】64【解析】由等比数列的性质可得q^4=32，解得q=2，所以a_10-a_9=a_9(q-1)=32。5.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n（n≥2），且a_1=1，则S_5的值为__________。（4分）【答案】15【解析】由a_n=S_n/n可得S_n=S_{n-1}+a_n=S_{n-1}+S_n/(n-1)，所以S_n/(n-1)=S_{n-1}/n，即数列{S_n/(n-1)}是常数列，所以S_n=(n-1)/n，所以S_5=4/5。6.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}是__________数列。（4分）【答案】等差【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}是等差数列。7.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n^2}是__________数列。（4分）【答案】等比【解析】若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n^2}是等比数列。8.若数列{a_n}是等差数列，则数列{1/a_n}是__________数列。（4分）【答案】等差【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{1/a_n}是等差数列。9.若数列{a_n}是等比数列，则数列{1/a_n}是__________数列。（4分）【答案】等比【解析】若数列{a_n}是等比数列，则数列{1/a_n}是等比数列。10.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+1}}是__________数列。（4分）【答案】等差【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+1}}是等差数列。四、判断题（每题2分，共20分）1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+(-3)=-8，和比两个数都小。2.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}不是等差数列。3.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n^2}也是等比数列（）（2分）【答案】（√）【解析】若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n^2}是等比数列。4.若数列{a_n}是等差数列，则数列{1/a_n}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{1/a_n}不是等差数列。5.若数列{a_n}是等比数列，则数列{1/a_n}也是等比数列（）（2分）【答案】（√）【解析】若数列{a_n}是等比数列，则数列{1/a_n}是等比数列。6.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+1}}也是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+1}}是等差数列。7.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+1}}也是等比数列（）（2分）【答案】（√）【解析】若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+1}}是等比数列。8.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_na_{n+1}}不是等比数列（）（2分）【答案】（×）【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_na_{n+1}}是等比数列。9.若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+1}}不是等比数列（）（2分）【答案】（×）【解析】若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_na_{n+1}}是等比数列。10.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+2}}也是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n+a_{n+2}}是等差数列。五、简答题（每题5分，共10分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，求证数列{a_n}是等比数列。（5分）【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}可得S_n^2=S_{n-1}a_n，所以S_n/S_{n-1}=a_n/S_n，即数列{S_n/S_{n-1}}是常数列，所以数列{a_n}是等比数列。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，求证数列{a_n}是等差数列。（5分）【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}可得S_n=S_{n-1}+a_n，所以S_n-S_{n-1}=a_n，即数列{a_n}是等差数列。六、分析题（每题12分，共24分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，求证数列{a_n}是等比数列，并求出通项公式。（12分）【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}可得S_n^2=S_{n-1}a_n，所以S_n/S_{n-1}=a_n/S_n，即数列{S_n/S_{n-1}}是常数列，设q=S_n/S_{n-1}，则S_n=qS_{n-1}，所以a_n=S_n^2/S_{n-1}=qS_{n-1}^2/S_{n-1}=qS_{n-1}，即a_n=qa_{n-1}，所以数列{a_n}是等比数列，设首项为a_1=1，公比为q，则a_n=q^{n-1}。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，求证数列{a_n}是等差数列，并求出通项公式。（12分）【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}可得S_n=S_{n-1}+a_n，所以S_n-S_{n-1}=a_n，即数列{a_n}是等差数列，设公差为d，则a_n=a_1+(n-1)d，由a_1=1可得a_n=1+(n-1)d，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=1+(n-1)d。七、综合应用题（每题25