2019-2020学年福建省三明市普通高中高三毕业班三模数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页福建省三明市普通高中2019-2020学年高三毕业班三模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．3．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（

）A． B． C． D．4．展开式中的系数为（

）A． B． C．80 D．1605．若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．6．“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法.甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥被称为“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，其相配顺序为：甲子，乙丑，……，癸酉，甲戌，乙亥，……壬戌，癸亥，甲子，……，周而复始，循环记录，此为干支纪年法.十三届全国人大四次会议审查的《国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要（草案）》提出，展望2035年，中国将基本实现社会主义现代化.已知1901年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2035年是“干支纪年法”中的（

）A．甲寅年 B．乙卯年 C．丙辰年 D．丁巳年7．某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作日的上班通行时间，并进行初步处理，得到频率分布表如下（表示通行时间，单位为分钟）：通行时间频率0.10.30.30.20.1该市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排.唐先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种.如果唐先生选择骑自行车，当天上班的通行时间为30分钟.将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，对唐先生上班通行时间的判断，以下正确的是（

）A．开小车出行的通行时间的中位数为27.5分钟B．开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为0.01C．选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费5分钟D．若选择骑自行车和开小车的概率相等，则平均通行时间为28.5分钟8．在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且.设，该三棱锥的表面积为函数，以下判断正确的是（

）A．为常数 B．有极小值C．有极大值 D．是单调函数二、多选题9．设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（

）A． B．C． D．10．对于给定的异面直线、，以下判断正确的是（

）A．存在平面，使得，B．存在直线，使得同时与、垂直且相交C．存在平面、，使得，，且D．对于任意点，总存在过且与、都相交的直线11．已知，，且，则可能取的值有（

）A．9 B．10 C．11 D．1212．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（

）A． B． C． D．三、填空题13．已知，则．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则.15．函数零点的一个近似值为.（误差不超过0.25）备注：自然对数的底数.16．已知数列满足，则的最大值为.四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，且，，?18．设等差数列的前项和为，且为等比数列，满足，，，.（1）求，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．如图，在平面四边形中，，，且为等边三角形.设为中点，连结，将沿折起，使点到达平面上方的点，连结，，设是的中点，连结，如图.（1）证明：平面；（2）若二面角为，设平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值.20．双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为），若胜则获得冠军，若胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件，求的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量，求的分布列.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围.22．在平面直角坐标系中，是圆上的动点，已知，且线段的垂直平分线交于，设的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，若，且内切圆的圆心在直线上，则直线具备以下哪个性质？证明你的结论.①恒过定点，②的斜率恒为定值，③到的距离恒为定值.

参考答案1．【答案】B【分析】化简集合，根据交集的概念运算可得结果.【详解】,.故选：B2．【答案】C【分析】设，则由已知可得，从而得，可求出的值，进而可得答案【详解】解：设，则由，得，即，所以，解得，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，故选：C3．【答案】C【分析】设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，然后由题意列方程可求得结果【详解】解：设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，则由题意可得，解得，故选：C4．【答案】A【分析】由于展开式中的次数均为偶次，所以展开式中的系数为展开式中系数的2倍，从而可求出答案【详解】解：因为展开式中的次数均为偶次，所以展开式中的系数为展开式中系数的2倍，展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中的系数为，故选：A5．【答案】C【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案【详解】由图可知，当时，，取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当时，可以小于1，所以排除A,故选C.6．【答案】B【分析】根据干支纪年法，知60年为一循环，然后由1901年至2035年，利用周期求解.【详解】由题意得干支纪年法，60年为一循环，因为，所以经历了2个60年循环，又经历了14年，则“十天干”中的“辛”过了14年后为“乙”，“十二地支”中的“丑”过了14年后为“卯”，故选：B7．【答案】D【分析】对于A，由频率分布表可知中位数在内，若设中位数为，则有，从而可求出中位数进行判断；对于B，由频率分布表可知开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为1；对于C，由频率分布表求出开小车平均通行时间，然后再比较即可；对于D，直接求解平均时间即可【详解】解：对于A，由频率分布表可知中位数在内，若设中位数为，则有，解得，所以A错误；对于B，由频率分布表可知开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为1，所以B错误；对于C，由频率分布表可得开小车平均通行时间为，所以选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费3分钟，所以C错误；对于D，由上面的计算可知平均通行时间为，所以D正确，故选：D8．【答案】A【分析】根据位置和长度关系先写出的面积，再根据三角形的面积公式求解出，由此可计算出的解析式并进行判断.【详解】由已知条件可知：，因为，，，，，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以为常数函数，故选：A.9．【答案】AC【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A：如下图所示，可知在内部，故成立；对于B：如下图所示，可知在外部，故不成立；对于C：因为，如下图所示，可知在内部，故成立；对于D：因为，如下图所示，可知在外部，故不成立；故选：AC.10．【答案】BC【分析】利用反证法可判断A选项的正误；利用两异面直线存在公垂线可判断B选项的正误；利用面面平行的性质可判断C选项的正误；假设点既不在直线上，也不在直线上，则点与直线可确定平面，结合图形可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若存在平面，使得，，则，与题设条件矛盾，假设不成立，A选项错误；对于B选项，作直线，使得且，则直线、确定平面，如下图所示：过点作直线，使得.①若与相交，则直线即为所求作的直线，，，所以，，，，所以，，即直线同时与、垂直且相交；②若直线与异面，过直线作平面，使得，设直线与确定的平面为，且，由线面平行的性质定理可得，，则，，，，，同理可知，，由图可知，，，，则，同理可知，直线与也相交.此时，存在直线，使得同时与、垂直且相交.综上所述，存在直线，使得同时与、垂直且相交，B选项正确；对于C选项，作直线，使得直线与相交且，直线与确定平面，作直线，使得直线与相交且，直线与确定平面，，，，所以，，同理可得，因为直线与相交，且直线与确定平面，所以，，因此，存在平面、，使得，，且，C选项正确；对于D选项，若点既不在直线上，也不在直线上，则点与直线可确定平面，当时，无法找到过点的直线同时与、相交，D选项错误.故选：BC.11．【答案】BCD【分析】由题意可知，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可得答案【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时取等号，故选BCD.12．【答案】ABD【分析】设，分别与两条渐近线和轴联立求出的坐标，求出、、，再分类讨论重心、垂心和外心，并根据重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半列式求出的关系，再根据离心率公式可求出结果.【详解】设，由，得，得，由，得，得，由，得，得，，，，若为重心、为外心、为垂心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得不成立；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心，为垂心、为外心，则，，化简得，此时双曲线的离心率；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得或，此时双曲线的离心率或，若为重心，为垂心、为外心，则，所以，化简得或都不成立.综上所述：或或或.故选：ABD13．【答案】【分析】先利用诱导公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值.【详解】解：，.故答案为：.14．【答案】【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，得到方程，解得即可；【详解】解：抛物线，即，准线方程为，点到焦点的距离为3，所以，解得故答案为：15．【答案】（可填中的任一实数）【分析】按照二分法求零点近似值的步骤可求得结果.【详解】因为，，，所以在内有零点，此时，不满足精确度，因为，，所以在内有零点，此时，不满足精确度，因为，，所以在内有零点，此时，符合精确度，所以函数零点的一个近似值为，故答案为：（可填中的任一实数）16．【答案】【分析】由，移项，左右两边平方，可得，整理即可得，数列是周期为2的数列，代入，得出的等量关系式，令，得到二次不等式，根据二次函数的性质即可求得最大值【详解】解：由题意得，由，得，所以，所以，两式相减得，因为，所以当时，，，此时，当时，，，所以，所以，所以数列是以2为周期的周期数列，所以，所以由，得，，令，则，即，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为，即的最大值为，故答案为：17．【答案】答案见解析.【分析】选择①，利用二倍角正弦公式得，通过边与角的关系知，进而得，再利用正弦定理计算得，出现矛盾，故不存在；选择②，由正弦定理结合逆用两角和差化积公式计算得，利用余弦定理可得，再利用面积公式得解；选择③，利用正弦定理结合同角之间的关系得到，利用余弦定理可得，再利用面积公式得解；【详解】选择①由，得.若，，，与矛盾，，.若这样的存在，根据正弦定理，由，得，与矛盾.所以，若选择条件①，则问题中的三角形不存在.选择②在中，根据正弦定理，得.，则，，即，整理为.，，，.根据余弦定理，，结合，，，解得：或（舍去）.的面积为.选择③在中，根据正弦定理，得，即.，则，.，，，，.根据余弦定理，，结合，，，解得：或（舍去）.的面积为.18．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据题目条件解得数列的首项，公差，公比，即可求得通项公式；（2）将（1）中求得的通项代入cn，化简得到可以裂项的形式，利用裂项求和法求得前n项和.【详解】（1）设的公差为，的公比为.由，得：解得：所以.又由，得：解得所以.（2）由（1）知，.所以.所以.19．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】解法一：（1）设的延长线交于点，由长度关系可确定，由角度关系可确定为中点，由三角形中位线性质知，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可确定，由此得到图形中的长度关系，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；解法二：（1）取的中点为，由三角形中位线性质得，由长度和角度关系可证得，由面面平行判定和性质可证得结论；（2）由二面角平面角定义可确定，由此得到图形中的长度关系，以中点为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】解法一：（1）在平面内，设的延长线交于点，连结，在中，设，则，，，，且，，，则为中点，是中点，，又平面，平面，平面.（2）在图中，是中点，即，为等边三角形，，在图中，，，，平面，平面，又平面，平面平面，且是二面角的平面角，即，.设为中点，连结，则，，且平面.过作，则平面.以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，.，平面平面；设平面的一个法向量为，由得：，令，解得：，，；设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.解法二：（1）取的中点为，连结，，是中点，.又平面，平面，平面；设，则，，，，则，，则，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.（2）在图中，是中点，即，为等边三角形，，在图中，，，，平面，平面，又平面，平面平面，且是二面角的平面角，即，.设为中点，为中点，连结，.则，，则平面.以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.平面，平面，平面平面.，与平面所成角即为与平面所成角；设平面的一个法向量为，由得：，令，解得：，，；设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.20．【答案】（1）；（2）①；②答案见解析.【分析】（1）先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可②由题意可得，然后求出各自对应的概率，从而可得的分布列【详解】（1）8人平均分成四组，共有种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为，所以（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为②若甲在第一轮获胜，.当时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即.当时，有两种情况：（i）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为；（ii）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率为，所以当时，有两种情况：（i）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为；（ii）甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，概率为；所以.当时，有两种情况：（i）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为；（ii）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为；所以.当时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即.所以的分布列为：3456721．【答案】（1）答案