2019-2020学年广东省佛山市禅城区佛山高一下期末数学试卷

佛山XX中2019-2020学年下学期高一级期末考试数学试题命题人：2020.7一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若a＜b＜0,则下列不等式不能成立的是()A. B. C.|a|＞|b| D.【答案】B【解析】【分析】由不等式的性质判断；由指数函数的单调性判断.【详解】对于，由知，因此，即成立，故正确；对于，由得，因此成立，故正确；对于，因为，是减函数，所以成立，故正确，对于，因为，是增函数，所以,选项不成立，故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的单调性，属于中档题.利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.2.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是（）A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是【答案】A【解析】【分析】利用概率的加法计算即可求解.【详解】根据题意可得甲获胜的概率是，故A正确；甲不输的概率是，故B错误；乙输的概率是，故C错误；乙不输的概率是，故D错误；故选：A【点睛】本题考查了概率的加法公式，考查了基本运算能力，属于基础题.3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()A. B. C.3π D.4π【答案】A【解析】【分析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积．【详解】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.【点睛】本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．4.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，一般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差.如图所示的茎叶图表示的是某市甲、乙两个监测站连续10天内每天的PM2.5浓度度数（单位:），则下列说法正确的是（）A.甲、乙监测站读数的极差相等 B.乙监测站读数的中位数较大C.乙监测站读数的众数与中位数相等 D.甲、乙监测站读数的平均数相等【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图计算极差，中位数，众数，平均数，即可得结果.【详解】甲的极差是98－43＝55，乙的极差是94－37＝57，两者不相等，A错误；甲的中位数是＝74，乙的中位数是68，甲的中位数较大，B错误；乙的众数为68，与中位数相同，C正确；甲的平均数是(43＋63＋65＋72＋73＋75＋78＋81＋86＋98)×＝73.4乙的平均数是(37＋58＋61＋65＋68＋68＋71＋77＋82＋94)×＝68.1，可知D错误.故选：C【点睛】本题考查茎叶图，样本的数字特征，属于基础题.5.如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.6.已知平面向量的夹角为，设，则=（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件计算，然后对平方开根号进行计算即可得到答案.【详解】平面向量的夹角为，，则，，故选：D【点睛】本题考查向量的数量积和向量的模的计算，属于简单题.7.在中，角，，对边分别为，，，若，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得代入原式得解得则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率．【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（3，3），（4，3），（5，3），（4，4），（5，4），（5，5）；共有个基本事件.∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法．属于较易题.9.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下面结论错误的是（）A. B.C.1024是三角形数 D.【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】∵，，，…，由此可归纳得，故A正确；将前面的所有项累加可得，∴，故B正确；令，此方程没有正整数解，故C错误；，故D正确.故选C【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知正三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球心在三棱锥的内部.若该三棱锥的侧面积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件作出如图辅助线，并根据正三棱锥的性质确定球心的位置，中，利用勾股定理求半径，最后求球的表面积.【详解】作平面，连结并延长交于点，连结，正三棱锥外接球的球心在高上，连结，，解得：,正三角形中，，，设，中，，解得：,则球的表面积.故选：D【点睛】本题考查几何体与球的综合问题，意在考查空间想象能力，和推理计算，属于基础题型.二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）11.某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优，据当地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图，现给出如下信息，其中正确的信息为（）A.10月份人均月收入增长率为2%B.11月份人均月收入约为1442元C.12月份人均月收入有所下降D.从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高【答案】ABC【解析】【分析】由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图直接判断求解.【详解】由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图，知：对于A，根据图（一），10月份人均月收入增长率为2%，故A正确；对于B，11月份人均月收入约为元，故B正确；对于C，由图（一）、图（二）均可得出收入下降，故C正确；对于D，从图中易知该地人均收入8、9月一样，故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查了统计中的折线图与条形统计图，考查了考生的数据处理能力、分析能力，属于基础题.12.已知等差数列的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（）A.a1=22 B.d=－2C.当n=10或n=11时，Sn取得最大值 D.当Sn>0时，n的最大值为21【答案】BC【解析】【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合n为正整数，可判断C；由Sn>0解不等式可判断D．【详解】由公差，可得，即，①由a7是a3与a9的等比中项，可得，即，化简得，②由①②解得，故A错，B对；由，可得或时，取最大值，C对；由Sn>0，解得，可得的最大值为，D错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*），则a5=______.【答案】31【解析】【分析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.【详解】因为，,所以，，，.故答案为：31.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14.已知向量，若则___________.【答案】【解析】【分析】先求出,再根据计算得解.【详解】由题得，因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量垂直坐标表示和向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.【答案】【解析】【分析】在中，分析边角关系可得，在中，由正弦定理可求得的值，然后在中，利用余弦定理可求得的长.【详解】在中，，，，，则，在中，，，，则，由正弦定理得，可得，在中，，，，由余弦定理得，因此，（千米）.故答案为：.【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.16.已知x>0，y>0，且，则2xy的最小值为________；xy+3x的最小值为________.【答案】(1).8(2).9【解析】【分析】第一空：利用基本不等式，即可得出结论第二空：由已知将xy+3x化为一次式，运用

“1”变换，再利用基本不等式可得.【详解】根据题意，实数，，由，则，当且仅当，时，等号成立；因为，所以，当且仅当时，即等号成立.故答案为：8；9.【点睛】题考查基本不等式及利用基本不等式求最值，将所求式运用“1”的变换，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.某学校为了了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生，根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100].（1）求频率分布直方图中a的值，以及该组数据的中位数（结果保留一位数）.（2）学校规定：师生对食堂服务质量评分不得低于75分.否则将进行内部调整，用每组数据的中点值，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.【答案】（1）；；（2），所以食堂不需要内部整顿.【解析】【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于求出a的值；再根据中位数将所有小矩形的面积平分即可求解.（2）根据平均数等于各小矩形的面积乘以等边中点横坐标之和即可求解.【详解】（1）由，解得.设该组数据的中位数为，则，解得，所以该组数据的中位数为.（2）由题中数据可得对食堂服务质量评分的平均分为，因为，所以食堂不需要内部整顿.【点睛】本题考查了根据频率分布直方图求中位数、平均数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18.在直三棱柱中.（1）求三棱柱的体积；（2）求四棱锥的表面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据三棱锥的体积公式，可得，即可求解；（2）四棱锥的表面积，由此求得结果.【详解】（1）由题意，直三棱柱中，，则的面积为，所以三棱锥的体积为：。（2）在直三棱柱直三棱柱中，因为且，平面，因为平面，所以，所以，，，，所以的表面积为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积和四棱锥的表面积的计算，其中解答中熟记直三棱柱的结构特征，熟练应用锥体的体积和表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19.已知关于的不等式；（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，且不等式对一切都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得和是方程的两根且，利用根与系数的关系即可得出结果；（2）设，利用二次函数的图象与性质把问题化为，即可求出的取值范围．【详解】（1）不等式的解集为和是方程的两根且由根与系数的关系得：，解得：（2）令，则原问题等价于即，解得：又实数的取值范围是【点睛】本题考查了一元二次不等式与与相应的一元二次方程以及二次函数的应用问题，是综合性题目．20.如图，D是直角斜边BC上一点，．Ⅰ若，求的大小；Ⅱ若，且，求AD的长．【答案】ⅠⅡ【解析】【分析】Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．【详解】Ⅰ，，，在中，由正弦定理可得：，，或，又，Ⅱ，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理：在中，，在中，，可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强做总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2020年5月购买一辆某品牌新能源汽车.他从当地品牌销售网站了解到近5个月实际销量如下表：月份2019.122020.012020.022020.032020.04月份编号t12345销量（万量）0.50.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y（万辆）与月份编号t之间的相关关系,请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测2020年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2020年6月12日，中央财政和当地政府根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装置的燃料或电池所能够提供车跑的最远的里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：补贴金额预期值区间（万元）[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)频数206060302010将对补贴金额的心理预期值在[1,2)（万元）和[6,7)（万元）的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，求抽出的2人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.（参考公式：回归方程中，其中）【答案】（1），且2020年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为万量；（2）【解析】【分析】（1）根据表中数据求出、，再根据参考公式求出即可（2）根据分层抽样求出预期值在[1,2)（万元）和[6,7)（万元）的抽取人数，再利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由题易知，，，y关于t的线性回归方程，当时，，即2020年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为万量.（2）心理预期值在[1,2)（万元）和[6,7)（万元）的消费者