2019-2020学年海南省高三下学期体艺生模拟考试数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页海南省2019-2020学年高三下学期体艺生模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设为实数，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是A． B． C． D．5．如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是（

）A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定6．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为A． B． C． D．7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（

）A． B． C． D．8．若等比数列各项都是正数，，，则的值为A．42 B．63 C．84 D．168二、多选题9．（多选）学校为了解新课程标准中提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示.将阅读时间不低于的学生称为阅读霸，则下列结果正确的是（

）A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸B．抽取的100名学生中有50名学生为阅读霸C．该校学生中有50名学生不是阅读霸D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸10．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A．四点共面 B．平面平面C．直线与所成角的为 D．平面11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（

）A．离心率为 B．双曲线过点C．渐近线方程为 D．实轴长为412．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．最大值为，图象关于直线对称B．图象关于y轴对称C．最小正周期为D．图象关于点对称三、填空题13．曲线：在点处的切线方程为14．已知向量和的夹角为，且，，则.15．展开式中的常数项为.四、双空题16．若，，且，则的最小值是，当且仅当时，取得最值.五、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.19．如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.20．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：（3）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线(不与轴重合)交椭圆于点､，直线､分别与直线交于点､，求的大小.22．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.2．【答案】C【分析】先化简复数成代数形式，写出复平面内对应的点的坐标，判断象限即可.【详解】，在复平面内对应的点为，位于第三象限．故选：C．3．【答案】A【详解】根据函数为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数为单调递增函数，当时，可得，即成立，当，即时，可得，所以不一定成立，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.4．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性及单调性对4个选项一一判断，即可得出答案.【详解】由基本函数的性质得：为偶函数，为非奇非偶函数，为非奇非偶函数，为奇函数，且在区间上单调递减.故选：D5．【答案】D【详解】分别计算甲、乙两人成绩的平均数与方差，即可得出正确的结论.【详解】，，，，因为，所以乙比甲成绩稳定，故选：D．6．【答案】B【详解】试题分析：,,三角形的外接圆直径,,面，，三角形为等腰三角形，该三棱锥的外接球的半径，该三棱锥的外接球的表面积为，故选B.考点:正弦定理和三棱锥外接球表面积的求法.〖方法点睛〗本题主要考查正弦定理和三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.本题是利用方法②求解的.7．【答案】D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：．8．【答案】D【详解】因，故，即，解（舍去），则，应选答案D．点睛：设置本题的目的旨在考查等比数列的通项公式等基础知识及整体代换的思维方法的等思想哈方法的综合运用．求解时，先依据题设建立方程求出公比，再将及公比整体代入，最终使得问题巧妙获解．9．【答案】AB【详解】根据频率分布直方图的数据列出频数分布表，从样本估计总体，得出结果.【详解】根据频率分布直方图可列下表：阅读时间/min抽样人数/名10182225205抽取的100名学生中有50名为阅读霸，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸.故选：AB10．【答案】BC【分析】根据点线面的位置关系逐个判断选项即可.【详解】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC11．【答案】ABC【分析】根据双曲线C：的左、右焦点分别为，，得到焦点在x轴上，且c=5；然后逐项验证即可.【详解】因为双曲线C：的左、右焦点分别为，，所以焦点在x轴上，且c=5；A选项，若离心率为，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为：，故A正确；B选项，若双曲线过点，则，解得，又，解得：b=3；此时双曲线的方程为：，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为，则，又解得，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；D选项，若，则，所以故D错误；故选：ABC.12．【答案】BCD【详解】利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，对于函数，它的最大值为，由于当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为，故C正确；当时，，故函数的图象关于点对称，故D正确.故选：BCD13．【答案】【分析】根据求导法得出点处切线的斜率，再根据点的坐标，由点斜式得到该切线方程.【详解】因为，，，又，所求的切线方程为，即，故答案为：.14．【答案】10【分析】首先根据平面向量数量积的定义求出，再根据向量数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为向量和的夹角为，且，，所以，所以故答案为：15．【答案】【分析】写出展开式的通项，令的指数为零，即得常数项.【详解】展开式中第项为，令，所以常数项为.故答案为:-22016．【答案】8；【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号；故答案为：，17．【答案】详见解析【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】［方法一］〖最优解〗：余弦定理由可得：，不妨设，则：，即.若选择条件①：据此可得：，，此时.若选择条件②：据此可得：，则：，此时：，则：.若选择条件③：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若选择条件①：由，得，得．解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．若选择条件②：由，得，解得，则．由，得，得．所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．若选择条件③：由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．〖整体点评〗方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．18．【答案】(1)2n(2)85－(－1)n·【详解】(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8，解得q＝12(舍去)，q＝2， 3则a1＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n. 5分(2)由(1)可知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·2n·2n＋1＝(－1)n－122n＋1， 6分则a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－＝23[1−(−22)n]1−(19．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【详解】（Ⅰ）由中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（Ⅱ）由已知条件可知，然后利用面面垂直的性质定理可证明出平面，即可得出；（Ⅲ）以为原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）在中，、分别为、的中点，所以为中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）在等腰直角三角形中，，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因为平面，所以；（Ⅲ）在平面内过点作垂直于，由（Ⅱ）知，平面，因为平面，所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系.则，，，，.，，.设平面的法向量为，则，即.令则，，所以.直线与平面所成角大小为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.20．【答案】（1）平均数为，“长潜伏者”的人数为人；（2）列联表见解析,有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关；（3）分布列见解析,【详解】（1）由频率分布直方图可计算出潜伏期的均值，再由频率分布直方图可得“长潜伏者”的频率，从而得人数；（2）由所给数据计算出后可得结论；（3）由题意知所需要的试验费用X所有可能的取值为1000，1500，2000，分别计算出概率得概率分布列，再由期望公式得期望．【详解】解：（1）平均数，这500名患者中“长潜伏者”的频率为，所以“长潜伏者”的人数为人.（2）由题意补充后的列联表如下，短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁以下6080140合计150150300则的观测值为，经查表，得，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.（3）由题意知所需要的试验费用X所有可能的取值为1000，1500，2000，因为，，（或）所以X的分布列为X100015002000P（元）.21．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题可知且，即可由此求出，写出椭圆方程；（2）设直线的方程为，设点､，联立直线与椭圆，结合韦达定理表示出，可以求出，从而求出角的大小.【详解】（1）由题意得，解得，，从而，所以椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，设点､，联立，消去得，则恒成立，由韦达定理得，，设点，，，由得，可得，即点，同理可得点，，，，因此，.22．【答案】(1)见详解；(