合情推理和演绎推理-配套课件

第十章推理与证明

1．合情推理与演绎推理

(1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．

(2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．第一页，编辑于星期六：七点二十七分。2．直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．利用归纳和类比的方法进行简单推理的选择题或填空题在高考中有所体现，是容易题．

推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程．推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括第二页，编辑于星期六：七点二十七分。按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明．中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．第三页，编辑于星期六：七点二十七分。第四页，编辑于星期六：七点二十七分。第1讲合情推理和演绎推理

1．合情推理

(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫合情推理．

(2)合情推理可分为____推理和____推理两类： ①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概归纳类比第五页，编辑于星期六：七点二十七分。括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由____到____、由部分整体个别一般

②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由____到____的推理．特殊

2．演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．特殊第六页，编辑于星期六：七点二十七分。

1．在平面直角坐标系中，直线一般方程为Ax＋By＋C＝0，圆心在(x0，y0)的圆的一般方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2；则类似的，在空间直角坐标系中，直线的一般方程为_______________，Ax＋By＋Cz＋D球心在(x0，y0，z0)的球的一般方程为__________________(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r22．在平面内，三角形的面积为s，周长为c，则它的内切＝0第七页，编辑于星期六：七点二十七分。用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R为____.3V S

3．如图10－1－1，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是__.

图10－1－128第八页，编辑于星期六：七点二十七分。等差数列等比数列an＝a1＋(n－1)d

bn＝b1qn-1an＝am＋(n－m)dbn＝________若cn＝

a1＋a2＋a3＋…＋an

，n则数列{cn}为等差数列若dn＝

_______________， 则数列{dn}为等比数列

4．类比是一个伟大的引路人．我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论：bmqn-m第九页，编辑于星期六：七点二十七分。＝，＝＝，a4＝＝，…，考点1归纳推理例1：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝

2an2＋an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由．解析：在{an}中，a1＝1，a2＝

2a1

22＋a1

3a3＝

2a22＋a21224

2a32＋a325第十页，编辑于星期六：七点二十七分。第十一页，编辑于星期六：七点二十七分。【互动探究】1．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；….23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19；….根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，则m的值为__.9

解析：m3的分解中，最小的数依次为3,7,13，…，m2－m＋1，…，由m2－m＋1＝73得m＝9.第十二页，编辑于星期六：七点二十七分。OA′OB′OC′△考点2类比推理例2：已知O是△ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并延长交对边于A′、B′、C′，则＋＋AA′BB′CC′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”．OA′

AA′＋OB′

BB′＋OC′CC′＝S△OBCS＋SOCA＋S△OAB＝S△ABC△ABCS△ABCS△ABCS△ABC＝1，第十三页，编辑于星期六：七点二十七分。

请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明．第十四页，编辑于星期六：七点二十七分。第十五页，编辑于星期六：七点二十七分。若不在同一平面内的射线OP、OQ和OR上分别存在点P1、P2，点Q1、Q2

和点R1、R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．图10－1－4第十六页，编辑于星期六：七点二十七分。这个结论是正确的，证明如下：图10－1－5第十七页，编辑于星期六：七点二十七分。第十八页，编辑于星期六：七点二十七分。考点3演绎推理

例3：已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体，存在非零常数T，对任意x∈R有f(x＋T)＝Tf(x)成立．

(1)函数f(x)＝x是否属于集合M？说明理由；

(2)设函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像与y＝x的图像有公共点，证明f(x)＝ax∈M；第十九页，编辑于星期六：七点二十七分。

(3)若函数f(x)＝sinkx∈M，求实数k的取值范围．第二十页，编辑于星期六：七点二十七分。第二十一页，编辑于星期六：七点二十七分。当T＝1时，sin(kx＋k)＝sinkx成立，则k＝2mπ，m∈Z；当T＝－1时，sin(kx－k)＝－sinkx成立，即sin(kx－k＋π)＝sinkx成立，则－k＋π＝2mπ，m∈Z，即k＝－(2m－1)π，m∈Z.∴实数k的取值范围是{k|k＝mπ，m∈Z}．

(1)对于“新定义题”，题中会给出一个“新定义”，解题的关键是理解和紧扣“定义”．(2)这类问题的两种常见问法：①判断某一对象是否属于该定义的外延；②运用“新定义”解决有关问题．第二十二页，编辑于星期六：七点二十七分。相切(内切或外切)第二十三页，编辑于星期六：七点二十七分。图10－1－6图10－1－7解析：这两个圆有两种情况，内切或外切，如图10－1－7：第二十四页，编辑于星期六：七点二十七分。图10－1－8错源：偏离问题的本质第二十五页，编辑于星期六：七点二十七分。＝＋＋ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为________．

1111h2

PA2

PB2

PC2.

误解分析：本题主要错误是由平面几何相关知识类比到空间几何上时，不能抓住问题的本质，只是从形式上写出相关结论．

正解：本题主要考查类比推理的相关知识． 结合所给出的直角三角形中的结论，类比到空间中，易得第二十六页，编辑于星期六：七点二十七分。

【互动探究】

4．(2011年河南4月模拟)现有一个关于平面图形的命题：如图10－1－9，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的

个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.a3

8第二十七页，编辑于星期六：七点二十七分。图10－1－9第二十八页，编辑于星期六：七点二十七分。

例5：某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图10－1－10(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．图10－1－10第二十九页，编辑于星期六：七点二十七分。＋＋＋…＋

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求

111f(1)f(2)－1f(3)－1

1f(n)－1的值．解析：(1)f(5)＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律，得出f(n＋1)－f(n)＝4n，∵f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)第三十页，编辑于星期六：七点二十七分。…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.第三十一页，编辑于星期六：七点二十七分。【互动探究】5．已知抛物线y2＝4x，点M