2019-2020学年安徽省蚌埠市高一下期末数学试卷

蚌埠市2019—2020学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上．1.已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.2.求值：（）A. B. C. D.3.某校高一年级共有800名学生，随机编号为001，002，003，…，800，现拟对他们高二文理分科的意向进行调查，抽取编号尾数为3的80名学生作为样本这种抽样方法是（）A.分层抽样 B.系统抽样 C.随机数法 D.抽签法4.七巧板是古代中国劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A. B. C. D.5.甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是11 B.乙得分的中位数是18.5C.甲有3场比赛的单场得分超过20 D.甲的单场平均得分比乙高6.在中，角所对的边长分别为．若，则的形状是（）A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.4 B.7 C.10 D.138.设满足约束条件，则的最大值是（）A.10 B.5 C.4 D.29.某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线性回归方程，则（）245683040605070A17.5 B.17 C.15 D.15.510.已知等差数列前项和为，等差数列的前项和为．若，则（）A. B. C. D.11.从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，记“3件产品都是次品”为事件，“3件产品都不是次品”为事件，“3件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（）A.任意两个事件均互斥 B.任意两个事件均不互斥C.事件与事件对立 D.事件与事件对立12.已知，则的最小值为（）A B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在答题卡上．13.在等比数列中，，则公比__________．14.已知，则________．15.不等式的解集为____________．16.中，角所对的边长分别为．若成等差数列，则的最小值为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）求和；（2）求角．18.已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为，2个红球记为，现从中随机摸出两个球．（1）写出所有的基本事件；（2）求两个球中恰有一个黑球的概率；（3）求两个球中至少有一个黑球的概率．19.已知函数．（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）当时，解关于的不等式．20.如图，在平面四边形ABCD中，若，，，．（1）求；（2）若，求BC．21.某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一第学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区间为：．（1）求图中的值；（2）利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成绩用该组区间的中点值做代表）；（3）若将分数从高分到低分排列，取前20%同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线．22.已知正项数列前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若，求；（3）求数列的最小项．

蚌埠市2019—2020学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上．1.已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过代入特殊值可判断A,B,C三个选项，从而可选出正确答案.【详解】解：若，此时，，则A、B错误；若，则，则C错误；由不等式的性质可知D正确，故选:D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题.2.求值：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合两角和的余弦公式即可求出正确答案.【详解】解：，故选：C.【点睛】本题考查了两角和的余弦公式的逆向运用，属于基础题.3.某校高一年级共有800名学生，随机编号为001，002，003，…，800，现拟对他们高二文理分科的意向进行调查，抽取编号尾数为3的80名学生作为样本这种抽样方法是（）A.分层抽样 B.系统抽样 C.随机数法 D.抽签法【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样的定义可得到结论．【详解】高一年级共有800名学生，随机编号为001，002，003，…，800，抽取编号尾数为3的80名学生作为样本，则分成80组，间距10，每组10人，抽取编号尾数为3的学生即003，013，023，033，043，…，按照间距抽取满足系统抽样的定义，故选：B【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，确定样本间距是解决本题的关键．比较基础．4.七巧板是古代中国劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，结合面积比，即可求解.【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分是由2个小等腰三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰三角形的边长为，所以阴影部分的面积为，又由正方形面积为，所以该点取自图中阴影部分的概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中根据图形，求得对应区域的面积是解答的关键，着重考查运算能力，属于基础题.5.甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是11 B.乙得分的中位数是18.5C.甲有3场比赛的单场得分超过20 D.甲的单场平均得分比乙高【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，折线图整合数据，判断选项．【详解】甲的极差为，故A选项不符合题意．乙的中位数为，故选项B不符合题意．甲得分的折线图可知甲运动员得分有2次超过20，故选项C不符合题意．根据茎叶图和折线图可知，甲的单场平均得分大于，乙的单场平均得分为，故甲的单场平均得分比乙高.故选：D．【点睛】本题考查对茎叶图，折线图的分析整合能力，属于基础题．6.在中，角所对的边长分别为．若，则的形状是（）A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形【答案】B【解析】【分析】首先利用正弦定理，将题中的式子进行变形得到，应用正弦函数的差角公式得到，结合三角形内角的取值范围得到，从而进一步确定三角形的形状.【详解】根据题意及正弦定理得，即，所以，结合三角形内角的取值范围得到，所以三角形是等腰三角形故选：.【点睛】本题主要考查有关三角形形状判断的问题，在解题过程中涉及到的知识点有正弦定理、正弦函数的差角公式、由三角函数值确定角的大小，最后应用两个角相等求得三角形的形状.7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.4 B.7 C.10 D.13【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图即可求得结果.【详解】执行如图所示的程序框图可得，第一次循环：，满足判断条件，；第二次循环：，满足判断条件，；第三次循环：，不满足判断条件，此时输出结果0，故选：C．【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构程序框图的输出结果的计算，属于基础题目.8.设满足约束条件，则的最大值是（）A.10 B.5 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】画出可行域，将目标函数变形，通过平移直线即可求出最优解，进而可得最值【详解】解：可行域如下图，联立解得，即当过时，有最大值，此时，故选:A.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线性回归方程，则（）245683040605070A.17.5 B.17 C.15 D.15.5【答案】A【解析】【分析】根据表中的数据，求得样本中心为，代入回归方程为，即可求解.【详解】由题意，根据表中的数据，可得，，即样本中心为，代入与的线性回归方程为，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程必过样本中心这一基本特征是解答的关键，着重考查了计算能力.10.已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先表示出，再表示出，两式作比即可解题.【详解】解：∵是等差数列的前项和，∴，即，∵是等差数列的前项和，∴，即，∴，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式与等差数列的通项公式的性质，是基础题.11.从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，记“3件产品都是次品”为事件，“3件产品都不是次品”为事件，“3件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（）A.任意两个事件均互斥 B.任意两个事件均不互斥C.事件与事件对立 D.事件与事件对立【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可得选项.【详解】由题意知：事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，没有次品.由此知：A与C是互斥事件，并且是对立事件；B与C是包含关系，不是互斥事件，不是对立事件；A与B是互斥事件，但不对立事件.故选：C.【点睛】本题考查互斥事件、对立事件的概念和辨析，属于基础题.12.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将化简为，再根据判断，，，，最后运用基本不等式求最小值即可.详解】解：∵，∴，，，，∴当且仅当，即，时取等号.故选：D.【点睛】本题考查基本不等式，是基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在答题卡上．13.在等比数列中，，则公比__________．【答案】【解析】【分析】本题先用，表示，，再建立方程组解题即可.【详解】解：∵是等比数列，∴，∵，，∴，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.14.已知，则________．【答案】1【解析】【分析】本题先求出、，再化简代入求值即可.【详解】解：∵，，，∴或①当且时，；②当且时，故答案为：1.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.15.不等式的解集为____________．【答案】【解析】【分析】分，两种情况，确定分子的符号，解出一元二次不等式即可.【详解】解：当，即时，，解得或，此时解集为；当，即时，，解得，此时解集为，综上所述，解集为，故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了分式不等式的求解，考查了分类的思想，属于基础题.16.中，角所对的边长分别为．若成等差数列，则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式，结合正弦定理以及等差中项的应用对所求式子进行化简，可得，由余弦定理和基本不等式可求出的取值范围，通过求的取值范围，进而可求出的范围，即可求出的最小值.【详解】解：，因为成等差数列，所以，即，则原式，由余弦定理知，，当且仅当时等号成立，，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，又，所以，所以，故答案为:.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了基本不等式，考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了等差中项的应用.本题的关键是构造符合基本不等式的形式，结合基本不等式求最值.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）求和；（2）求角．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】(1)由已知求出，的取值范围，结合同角三角形的基本关系即可得和.(2)结合两角和的正弦公式求出的值，进而求出，即可得角.【详解】解：（1）由，得，，所以，又，则，所以．（2），因为，所以，得．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式.本题的易错点是未能正确求出角的取值范围.18.已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为，2个红球记为，现从中随机摸出两个球．（1）写出所有的基本事件；（2）求两个球中恰有一个黑球的概率；（3）求两个球中至少有一个黑球的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)以有序实数对表示摸球的结果即可表示出所有的基本事件.(2)求所有基本事件个数，求两个球中恰有一个黑球的基本事件个数，从而可求出概率；(3)结合对立事件概率的关系，求出两个球中没有黑球的概率后，即可求出两个球中至少有一个黑球的概率.【详解】（1）以有序实数对表示摸球的结果，列举如下：．（2）记“两个球中恰有一个黑球”为事件，则事件包括共6种情况，所以．（3）记“两个球中至少有一个黑球”为事件，则事件的对立事件为“两个球中没有黑球”，易知，所以．【点睛】本题考查了基本事件的列举，考查了古典概型求概率，属于基础题.19.已知函数．（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）当时，解关于的不等式．【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【解析】【分析】(1)由已知可得的两个根为1和2，将根代入方程中即可求出的值.(2)代入，分，，三种情况进行讨论求解.【详解】（1）由条件知，关于的方程的两个根为1和2，所以，解得．（2）当时，，即，当时，解得或；当时，解得；当时，解得或．综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数值，考查了含参一元二次不等式的求解，属于基础题.20.如图，在平面四边形ABCD中，若，，，．（1）求；（2）若，求BC．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理，结合已知，即可求得；（2）在中，应用余弦定理，即可求得.【详解】（1）中，由正弦定理可得：即，解得．因，所以，所以．（2）由（1）知，所以，在中，由余弦定理可得：．因为BC的长度为正数，所以．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的直接应用，属基础题.21.某校为了解高一年级学生的