七年级数学平方根课时讲义

七年级数学平方根课时讲义同学们，我们已经学习了有理数的乘方运算，知道一个正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数。今天，我们来探讨一个新的问题：如果已知一个数的平方，如何求出这个数呢？这就是我们这节课要学习的——平方根。一、平方根的概念在数学中，我们常常会遇到“已知结果，求原因”的问题。比如，我们知道`2^2=4`和`(-2)^2=4`。这里，4是运算的结果。那么，如果我们反过来问：“哪个数的平方等于4呢？”大家很快就能回答出是2和-2。定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。我们把这句话用数学符号来表示一下：如果`x^2=a`，那么x就叫做a的平方根。例如：因为`3^2=9`，所以3是9的平方根；因为`(-3)^2=9`，所以-3也是9的平方根。这就像我们说，2和-2是4的平方根一样。二、平方根的表示方法与读法为了方便地表示一个数的平方根，我们引入一个新的数学符号：“√￣”，这个符号叫做根号。一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数。我们用`±√a`来表示a的平方根。其中，“+√a”表示a的正平方根（也称为算术平方根，这个我们稍后会详细讲），“-√a”表示a的负平方根。这里的“a”，我们称之为“被开方数”。读法：`√a`读作“根号a”，`±√a`读作“正负根号a”。比如，9的平方根可以表示为`±√9`，因为`±√9=±3`。三、算术平方根我们已经知道，一个正数有两个平方根，一正一负。在实际应用中，有时我们只需要考虑正的那个平方根。比如，我们计算一个正方形的边长时，边长不能是负数。定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的平方根是0，我们规定0的算术平方根也是0。所以，算术平方根是平方根中的非负根。算术平方根用符号表示就是`√a`，这里`a≥0`，并且`√a≥0`。例如：4的算术平方根是`√4=2`；2的算术平方根是`√2`（注意，2不是一个完全平方数，所以它的算术平方根是一个无理数，我们暂时用根号形式表示）；0的算术平方根是`√0=0`。重要区分：*9的平方根是`±3`，而9的算术平方根是`3`。*当我们说“求√25”时，这里指的是25的算术平方根，结果是5，而不是±5。只有当题目明确要求“求25的平方根”时，结果才是±5。四、平方根的性质通过上面的学习，我们可以总结出平方根的一些重要性质：1.正数的平方根有两个：它们互为相反数。也就是说，如果x是a的平方根，那么-x也是a的平方根。2.0的平方根只有一个：就是0本身。3.负数没有平方根：因为任何实数的平方都是非负数（正数或0），所以负数不可能有平方根。这一点非常重要，大家要牢记。例如：*16是正数，它的平方根是±4。*0的平方根是0。*-5是负数，它没有平方根，我们不能说`√-5`是什么实数。五、如何求一个数的平方根1.利用平方运算求平方根：对于一些简单的、能够开得尽方的数（即这个数是某个整数的平方），我们可以通过回忆平方口诀来求出它的平方根。例如：求121的平方根。因为`11^2=121`，`(-11)^2=121`，所以121的平方根是±11，即`±√121=±11`。2.根号的意义：对于不是完全平方数的正数，它的平方根我们可以用根号来表示。例如，5的平方根是`±√5`，7的算术平方根是`√7`。这些数的平方根是无限不循环小数，我们称之为无理数，在以后的学习中我们会进一步认识它们。3.注意事项：*在求平方根时，一定要先判断这个数是否是非负数。如果是负数，直接可以得出结论：没有平方根。*区分“平方根”和“算术平方根”。题目如果问“平方根”，通常有两个结果（0除外）；如果问“算术平方根”，则只有一个非负结果。六、例题讲解例1：求下列各数的平方根和算术平方根：(1)36(2)0.25(3)0(4)10解：(1)因为`(±6)^2=36`，所以36的平方根是±6，即`±√36=±6`；36的算术平方根是6，即`√36=6`。(2)因为`(±0.5)^2=0.25`，所以0.25的平方根是±0.5，即`±√0.25=±0.5`；0.25的算术平方根是0.5，即`√0.25=0.5`。(3)因为`0^2=0`，所以0的平方根是0，即`±√0=0`；0的算术平方根是0，即`√0=0`。(4)因为没有一个整数的平方等于10，且`(±√10)^2=10`，所以10的平方根是`±√10`；10的算术平方根是`√10`。例2：判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)-9的平方根是-3。(2)√16=±4。(3)0的算术平方根是0。(4)5是25的平方根。解：(1)不正确。因为负数没有平方根，-9是负数，所以它没有平方根。(2)不正确。√16表示16的算术平方根，算术平方根是非负的，所以√16=4。16的平方根才是±4。(3)正确。0的算术平方根是0。(4)正确。因为`5^2=25`，所以5是25的一个平方根（25的平方根还有-5）。七、课堂小结与思考今天我们学习了平方根的概念、表示方法、算术平方根以及平方根的性质。我们知道：*平方根是平方运算的逆运算。*正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。*算术平方根是平方根中的非负根，具有非负性。*在进行平方根相关计算时，一定要仔细审题，明确是求平方根还是算术平方根。思考一下：`√a`中的被开方数a可以取哪些数呢？`√a`的结果又有什么特点呢？（答案：a必须是非负数，即a≥0；`√a`的结果