5.不变性与对称性原理

不变性与对称性原理益川敏英说：“科研包含科学与技术两个方面的研究.成功的基础科学研究，就像音乐、美术一样更加容易对人们的生产与生活方式产生影响.未来的时代，需要我们探索社会与宇宙发展的规律性，这些规律可能会影响我们未来十年、二十年甚至是更长时间内的发展”.对称的不变性规律也许就算得上这类影响.规范场论纲领直接继承了量子场论纲领的全套基本理念，它是场本体论的、量子化的，只是在理论结构上，加上了规范对称性（规范原理）的严格限制.任何规范理论的核心是具有规范对称性的群和它在决定理论动力学（以相关的守恒定律为标志）时的关键作用.对称性可以有不同的类型：（1）如果一个对称性的表象在不同时空点都是同样的，称作全域对称性.（2）否则，称作局域对称性.（3）如果相关可观察度在本质上是属于外部时空的，则是外部对称性.（4）否则就是内禀对称性.现代规范理论正是从外部对称性到更普遍的局域内禀对称性的推广.这第一步是由杨振宁和米尔斯所采用的，当时他们想要寻找假定同位旋守恒定律的后果.同位旋概念是由N.Kemmerz在1938年引入的，同位旋被设想为在进行相互作用时与电子自旋相类似.它在随后的核力理论和规范场理论中都有重要作用.同位旋守恒是核力对电荷无关性这一事实的重新表述.按海森伯的说法，质子和中子是在一个抽象的同位旋空间中的同一个粒子的两个状态.既然电荷守恒与相不变性有关，那么通过类比，人们就会猜想强相互作用在同位旋转动中有不变性.从科学哲学的观点看，在规范不变性的思想中所体现的是，客观的物理事件独立于我们所选择的描述框架，即物理学定律具有某种深刻的内在不变性.同位旋不变性属于规范不变性之列（同位旋空间属于内部空间的一种）.杨与米尔斯所得的结果意义重大.1905年爱因斯坦发表的《论动体的电动力学》，被学界称为“相对论”，因为这种理论依据的两条原理分别是：力学相对性原理和光速不变原理.“事实上，爱因斯坦本来宁愿把他的理论称为不变量理论，而不称为相对论.但是，相对论这个名称强加于他了.他把它叫做‘所谓的相对论’表示了他的不快”.【1】二十世纪三十年代以后，由于加速机器技术和探测技术的发展，利用粒子的碰撞和粒子相互作用的衰变，实验物理学家相继发现了许多新粒子，这些粒子中只有极少数的几个是理论上预言的，绝大多数的粒子是突出其来的，它们在性质上和相互关系上表现出极大的差别，极大地丰富了人们对于粒子世界的认识，形成了庞大的粒子物理领域.而对如此庞大的粒子家庭，亟须把它们整理出次序来.物理学家们分析实验资料，找出许多守恒量和守恒定律，这些为认识粒子世界的对称性和探索其中的基本定律准备了条件.理论物理发展到分析力学的阶段，最小作用量原理和欧拉-拉格朗日方程，哈密顿方程逐渐升起，经过普朗克写出狭义相对论力学的拉氏量，希尔伯特写出广义相对论的拉氏量后，渐渐占据了主要位置.其中，在欧拉-拉格朗日方程中，广义坐标，广义速度是关键变量.在哈密顿方程中，广义动量和广义坐标是关键变量.他们之间差别在一个拉朗德变换.量子场论的出发点，就是把波函数算符化，其中作为广义坐标和作为广义速度，构建拉氏密度.这个是波恩，约当等为了量子化电磁场而开始的.因为电磁场是连续变量.后来对狄拉克方程的研究，特别是兰姆位移的出现，导致了费米子场的量子化.总结发现，拉氏密度主要有以下形式：标量场拉氏密度，旋律场拉氏密度，矢量场的拉氏密度.这些分别是从原有的克莱因-戈登方程，狄拉克方程，麦克斯韦方程反推而来的.最小作用量原理成为主流后，经过多年的发展，对如何构建拉氏密度，逐渐形成了一定的经验.在物理学发展的道路上，对称性的身影随处可见.首先一起来看看宏观世界中的对称性.如电动力学中静电力、静磁力的平方反比定律公式的发现，就是追求与万有引力平方成反比定律相“对称”而得到的.惠更斯对发生一维碰撞、质量相等的球以弹性碰撞前后速度变换的普遍结论也是利用对称性原理来推论的.在他考虑对心碰撞时，系统具有围绕球心连线的轴对称性和相对于质心C的点对称性.根据这些对称性的考虑，利用抽象对称法的推断得出两小球碰撞后的速度v1、v2应仍在此连线上，且有v1=一v2，这就推导出动量守恒的结论；在研究保守系与时间反演不变性关系时，就是从对称性原理出发，通过形象对称法和数学对称法阐明了保守系的运动规律具有时间反演不变性，即在保守系里运动过程是可逆的.而根据对称关系，推导出非保守系不具有时间反演不变性，耗散过程是不可逆的.电磁学中很多定律就是利用电磁现象与力学现象的内在对称性而得出的.1928年1月，狄拉克在研究粒子的相对论性量子理论时，取得了重大突破，得到了新的电子波动方程一狄拉克方程：(P.一a1P1一a2P2一a3P3一a4mc)ψ=0，式中P1、P2、P3为动量的三个分量.它对于动量和能量的相对论性四矢的4个分量是线性的.这个方程在数学上不仅简洁，而且优美，也能统一解释许多量子力学的实验事实.但该方程描述电子内部运动的矩阵有四列四行，而描述被观察电子的两个自旋态的矩阵只要两列两行，即方程给出的态比描述实验情况所需的态多了1倍.狄拉克接着通过研究又发现，有半的态与电子的负能态有关，因此，当时他面临抉择：是把不可观测的负能态排除出去呢?还是接受负能态，以保持方程的完美性呢?坚持对称美的狄拉克大胆的选择了后者.通过进一步的研究，他又发现占据负能态的空穴可看成是带正电荷的正能粒子.但当时知道的带正电荷的粒子只有质子，质子质量又为电子质量的1840倍，然而理论揭示正能与负能之间完全对称，这种粒子(空穴)质量应与电子质量相同.究竟是这种对称理论本身存在问题?还是预示一种新的粒子存在，以保持这种正能、负能之间的完全对称?对追求科学美和对称性毫不动摇的狄拉克又勇敢地选择了后者，并于1931年5月正式宣称，带正电的空穴，其质量与电子相同，电荷则与之相反，它就是电子的反粒子一正电子.1932年美国物理学家安德逊在宇宙射线中发现了正电子，使狄拉克的理论从数学形式的美终于变成了物质世界的真.狄拉克还从对称思想出发，发展了薛定谔的波函数理论.在迅速掌握了薛定谔使用的本征值矢技巧以后，狄拉克运用娴熟的数学技巧处理波函数．他用对称波函数描述玻色子服从玻色一爱因斯坦统计法则；用反对称波函数描述费米子服从费米一狄拉克统计法则.这样，狄拉克循着对称的思路，发现了微观粒子的统计类型与波函对称性质问的内在联系.随着科学的发展，表述对称理论的主要数学工具——群表示论也已成了近代数学中的一个重要分支.1890年著名俄国结晶学家及几何学家费得洛夫用群论方法解决了结晶学的基本任务之即规则的空间点系的分类问题.晶体的对称是多种多样的，总共有多少种呢?在此以前无人知晓，经用群论推算，总共有230种．具有对称性的晶体就是经过某些对称操作后能完全回复原状的晶体.晶体的对称操作有旋转、反映、象转、倒反、旋转倒反5种，其中前两种是基本的，后3种可以由前两种联合运用而得到．旋转所依赖的轴，称为旋转轴或对称轴，反映所依赖的面叫镜面或对称面.倒反所依赖的点叫对称中心.旋转指的是一个晶体如绕某一轴旋转360°／n，l(n=1，2，3，4，6)后能回复原状，则我们称此晶体具有咒次对称轴，如立方晶体具有4个3次对称轴.反映指的是一个晶体如沿通过其中心的某一平面进行反映后所得晶体和原来的完全一样，即该平面的一方为另一方的像，则此晶体具有镜面即具有反映面对称.可以证明，有32种不同的晶体宏观对称操作，它们构成了所谓晶体点群.全面分析晶体结构的对称性，还必须考虑平移．用来概括晶体结构全部对称操作(转动加平移)所构成的群，叫空间群.在理论上，可严格证明空间群有230种，即所有晶体结构就其对称性而言共有230种类型.由此，人们对结晶对称有了更全面、深刻的认识.数学对称理论反映了自然界形形色色的对称规律.内在对称性指的是自然规律内在质的对称，它反映了理论内在的和谐与统一程度.爱因斯坦在创立相对论的过程中，就认为自然科学的理论不仅要求一些基本概念或基本方程具有形式上的对称性，而且要求理论本身具有内在对称性.实际上，由于对称性意味着不变性，进一步发展为意味着经过某种对称变换后物理规律的不变性，这就意味着守恒．常常一种对称性意味着对应一个守恒定律，因此，早在1842年，雅可比就指出，对于个能够用拉氏量L来描述的体系，L在体系平移下的不变性将导致动量守恒；在空间转动下的不变性将导致角动量守恒.在粒子物理中，利用对称理论与方法，把粒子按多重态分类，导致新粒子的发现，引进了夸克.德布罗意运用对称添补法，预言了物质波的存在；爱因斯坦运用对称平衡法创立了狭义相对论；洛伦兹变换的不变性导致了统计力学和量子力学，也是运用数学对称法的结果.从以上事例