辽宁省沈阳市2026届高三教学质量监测（一）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市2026届高三教学质量监测（一）数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，又则，因为，所以，故选：A.2.若复数是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，有.故选：A.3.不等式的解集（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由不等式，可得，即，即，且，解得，所以不等式的解集为.故选：B.4.样本数据的第70百分位数次为（）A.7 B.9 C.9.5 D.10【答案】D【解析】数据的第70百分位数为10．故选：D．5.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】对于双曲线：因为，，所以，所以.所以双曲线的右焦点坐标为：.对于抛物线，因为焦点为，即.所以其准线方程为：.故选：B.6.若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数是且的反函数，所以且，令，因为，所以函数图象必过定点.故选：D.7.已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的标准方程：5由题意可得：最长弦为直径：，最短的弦是则四边形ABCD的面积为故选：D8.如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为，故B正确.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，则函数的最小值为3B.若，则的最小值为C.函数的最小值为D.若，且，则【答案】BCD【解析】对于A，∵，∴，∴，当且仅当，即时，取得最大值，故A错误；对于B，，当且仅当，时，取到最小值为，故B正确；对于C，.当且仅当时，取等号，故C正确；对于D，当，且时，，∴，当且仅当，取最大值，故D正确.故选：BCD.10.已知事件，满足，，则下列结论正确的是().A.若，则B.若与互斥，则C.若，则与相互独立D.若与相互独立，则【答案】BC【解析】对于A，由，得，A错误；对于B，由A与B互斥，得，B正确；对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误.故选：BC.11.已知数列的前n项和为，若，，则（）A. B.数列为等比数列C. D.【答案】BCD【解析】数列中，，，则，，整理得，而，因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确；，解得，对于A，，A错误；对于C，，则，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角的对边分别为，若且，则__________．【答案】4【解析】三角形内角和，，，，故，C是三角形内角，，故，则，，，根据正弦定理得，，．故答案为：4．13.已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________.【答案】【解析】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64，所以，或舍去，二项式的通项公式为，令，所以展开式中的常数项为.故答案为：.14.已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________.【答案】【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，，不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，，则，，，故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以，在中，，为棱台的高，也是球的直径，所以半径为，所以球的体积为，棱台体积为，所以球与棱台的体积比为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，所以，解得，所以；数列是公比大于0的等比数列，设公比为，则，因为，，所以，解得或（舍），所以.（2）由（1）知，则，可得，两式相减可得，所以.16.，且.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域；（3）说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程.解：（1）根据题意知，根据正弦函数的周期公式，所以最小正周期为.（2）根据“左加右减”的原则，可得，已知，则，当时，取最大值，最大值为，当时，取最小值，最小值为，所以当时，函数的值域为（3）把的图象上所有点向右平移个单位得到的图象；再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到.17.如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.（1）证明：连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE，因为是的中点，所以，又平面，平面，所以平面，（2）解：，且三棱锥与三棱锥底面积相同，三棱锥的高是三棱锥的高的二倍，（3）解：存在点F，使得二面角的正弦值为．因为底面是菱形，底面，与平面，所以，，，故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．则，，，，，，故，，，设，，则，．设平面的法向量为，则，，则，令，则，故，设平面BDF的法向量为，则，即，则，令得，故，因为二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值的绝对值为，令，化简得，解得或．因为，所以或．18.已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点.（ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.（ⅱ）求面积的最大值.解：（1）因为椭圆的离心率，且过点，可得且，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）（ⅰ）由（1）知，椭圆，可得，设直线的方程为，的方程为，且，，联立方程组，整理得，所以，，因为为的中点，所以，，即，同理可得，直线MN的方程为，即，所以直线MN过的定点为.（ⅱ）由MN过的定点为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的面积最大值为.19.已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为：012其中，且.由生成的函数为.（1）若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值.（2）现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率.请判断与的大小关系；.（3）从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点.解：（1）由变量生成的函数为，可得，所以，所以当为奇数时，可得.（2）由分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率，故，即，所以，所以生成的函数为，可得，则，所以，因为，所以，故，因为，所以，所以.（3）由方程的自然数中等