重庆市部分校2025-2026学年高二上学期12月考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市部分校2025-2026学年高二上学期12月考试数学试题一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A B. C.60° D.【答案】D【解析】由可得，，所以直线的斜率为，又倾斜角的范围为，所以，故选：D.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，也即双曲线的渐近线方程为.故选：B.3.已知椭圆，则该椭圆上的点到的距离的最小值为（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】因为椭圆方程为，所以，所以右顶点坐标为，.根据椭圆性质可知，椭圆上到右焦点距离最短的点为右顶点，所以最小值为.故选：A.4.若点在圆上运动，且点与点所连线段的中点为，则点的轨迹方程为（）A. B.C D.【答案】C【解析】设，，则线段的中点坐标为，即，所以.因为点在圆上，所以满足.化简得.故选：C.5.已知，，则点到直线的距离为（）A.3 B.2 C.5 D.【答案】D【解析】由题设由.过点作垂直于于点，设，所以，；，所以，即，解得；所以，；故选：.6.已知平面内有四点，其中三点不共线，且为平面内一点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于点P与共面,三点不共线,故存在实数，使得，则,即，而，故，解得，故选：A.7.某数学兴趣小组在研究对称问题时，发现从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的缝合线看成坐标轴和双曲线.若双曲线与圆的交点将圆的周长四等分，且双曲线与圆的直径的交点将三等分，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设双曲线的方程为，则，交点将三等分，，，.若双曲线与圆的交点将圆的周长四等分，即坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，点在双曲线上，代入双曲线的方程可得，解得，故双曲线的离心率为.故选：D.8.已知平面内两点，若在直线上存在点，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，在直线上存在点，满足，可得，化简整理得点P的轨迹方程为：，由题意得直线与圆相交，所以，化简可得，即得．故的最大值为.故选：C．二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线上两点为的焦点，则下列说法正确的是（）A.抛物线的准线方程为B.若直线过点，则C.若为坐标原点，，则直线恒过定点D.若直线过点，则以线段为直径的圆与的准线相切【答案】AD【解析】对于抛物线，其标准形式为，得，即，焦点为，准线为.选项A：由上述计算，准线方程为，故A正确.选项B：若直线过焦点，设直线为，代入抛物线方程得，由韦达定理得，故B错误.选项C：若，设直线为，代入抛物线得，，，由，解得（舍去），直线恒过，故C错误.选项D：若直线过，由抛物线定义,，圆的半径为；中点横坐标为，中点到准线的距离为，与半径相等，故圆与准线相切，D正确.故选：AD.10.设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（）A.点在直线上B若，则C.若，则D.若，则直线【答案】ABD【解析】对于A，由得，即，因为为直线的方向向量，且点在直线上，所以点也在直线上，故A正确；对于B，因为，则，又因为，则，则，故B正确；对于C，因为，所以，即，根据，无法得到与一定平行，故直线不一定垂直于平面，例如点在平面内，满足，此时，故C错误；对于D，因为，则，因为且为平面的法向量，则，同理，因为，则，则，故D正确.故选：ABD.11.下列命题正确的是（）A.已知圆，直线，则直线与圆相交或相切B.若点在圆外，则或C.由动点向圆引两条切线，切点分别为，，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为D.设直线系，则中存在两条直线的距离为4【答案】ACD【解析】对于A：圆的圆心坐标为，半径为，直线.圆心到直线的距离为.所以直线与圆相交或相切，A正确；对于B：因为点在圆外，所以，即，解得或.而，所以.解得，所以或者，B错误；对于C：圆的圆心为，半径为1，因为四边形为正方形，所以，所以动点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，方程为，C正确；对于D：取时，直线方程为；取时，直线方程为，这两条直线的距离为4，所以中存在两条直线的距离为4，D正确.故选：ACD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，以线段为直径的圆与圆相交于两点，则直线的方程为__________．【答案】【解析】以线段为直径的圆，其圆心为中点，半径，方程为.圆的圆心为，半径，计算圆心距.因，，且，故两圆相交.展开以为直径的圆的方程得，与圆的方程相减，得.故答案为：.13.已知正方体的棱长为1，若，则点到平面的距离为__________．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，.则，.设平面的法向量为，则有，即，令，则，所以.所以，而，所以点到平面的距离为.故答案为：.14.已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，且，若直线与椭圆交于点，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设，则，所以，由得，所以.所以直线斜率为，所以直线的方程为，即.将代入椭圆方程中，得到，化简得，又满足，即，根据韦达定理可得，所以①.由得，所以直线的斜率为.而，解得②.①②联立得，化简得.所以离心率为.故答案为：.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线，直线．（1）当时，求直线的倾斜角的取值范围;（2）当时，求实数的值．解：（1）∵直线的方程为，∴直线的斜率．又∵，∴．∵当时，，∴直线的倾斜角.（2）∵，∴，解得．∵当时，与重合，∴当时，．16.如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，分别为的中点．（1）证明:平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接．∵分别为的中点，∴．又∵为的中点且四边形为菱形，∴．∴，∴四边形为平行四边形，∴．又∵平面，平面，∴平面.（2）解：已知，且四边形为菱形．∵为的中点，∴．∵平面，平面，∴，∴以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴，∴．设平面的法向量为，∴即令，则，，∴．设直线与平面所成的角为，∴，即直线与平面所成角的正弦值为．17.已知圆经过两点．（1）若圆的圆心在直线上，求圆的方程；（2）已知点，当圆的面积最小时，求过点的切线方程．解：（1）因为圆经过两点，所以线段的斜率为．因为圆的圆心在直线上，所以设圆的圆心为，线段的中点为，所以，解得，所以，.故圆的方程为．（2）当圆的面积最小时，为直径，则，所以圆的方程为．设切点为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则圆的圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为．综上，切线的方程为或．18.如图，在直四棱柱中，，是的中点，是线段上不与端点重合的动点．（1）证明:；（2）若点满足，且直线平面，求的值；（3）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．（1）证明：因为四棱柱为直四棱柱，所以平面平面，且交线为．又因为，且平面，所以平面．因为平面，所以．又因为为正方形，所以．因为平面，且，所以平面．又平面，所以．（2）证明：以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则．设平面的法向量为，所以即取，得，所以．由题意，，则点，所以．因直线平面，则，即，得．（3）解：设，由（2）得，解得或（舍去）．当时，．设平面的法向量为．由得取，得，所以．易得平面的一个法向量为．设平面与平面所成的角为，，故平面与平面所成角的余弦值为．19.在平面直角坐标系中，椭圆是具有对称美和丰富几何性质的圆锥曲线，对于平面内的三点的面积.结合所学圆锥曲线知识完成下列问题:已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线与该椭圆相交于两点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为椭圆上的两点，为坐标原点.（i）若的面积为，证明：；（ii）设直线的斜率分别为，且.若为椭圆上异于的动点，记的面积分别为，试探究是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．（1）解：联立，解得，则