第27课　与圆有关的概念及性质

第27课与圆有关的概念及性质 1.圆的有关概念(1)弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦是直径.(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧.半圆也是弧.(3)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.1.如图，在☉O中，(1)半径有：_________；(2)直径有：____；(3)弦有：_______________；(4)劣弧对应的优弧是_____，它们刚好拼成一个完整的圆.OA，OBABAB，AC，BC2.圆的对称性(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；(2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心.2.(1)下列图形中对称轴最多的是()A.等边三角形B.线段C.正方形D.圆(2)等边三角形、矩形、菱形和圆四种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_______________.D矩形、菱形、圆3.垂径定理及其推论(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3.(2025宜宾)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB＝8，OC＝5，则OD的长是(

)A.3B.2C.6D.A4.弧、弦、圆心角的关系(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.4.如图，已知AB是☉O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE等于(

)A.40°B.60°C.80°D.120° C5.圆理及其推论(1)定理：一条弧所对的圆于它所对的圆心角的一半；(2)推论：①同弧或等弧所对的圆等；同圆或等圆中，相等的圆对的弧也相等；②半圆或直径所对的圆90°；90°的圆对的弦是直径，所对的弧是半圆.5.(2025宜宾)如图，已知∠BAC是☉O的圆，

∠BAC＝40°，则∠OBC＝____°.506.圆内接四边形对角互补如图，四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°.6.(2025东营模拟)如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠BOD＝130°，则∠ECD＝(

)A.50°B.55°C.65°D.70°C7.(2025扬州)如图，点A，B，C在☉O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝_____°. 402022年版课标 知道同弧(或等弧)所对的圆等 8.(2024云南)如图，CD是☉O的直径，点A，B在☉O上.若，∠AOC＝36°，则∠D＝(

)A.9° B.18° C.36° D.45°B2022年版课标探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧

9.(2025长沙)如图，AB为☉O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB.若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为____.610.(2025天河区校级二模)如图，拱桥可以近似看作是直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为(

)A.50mB.40mC.30mD.25m D11.(2025)如图，四边形ABCD内接于☉O，，连接BD.若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为(

)A.20° B.35° C.55° D.70°C12.(2025广安)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BCD＝120°，☉O的半径为6，则BD的长为_____.13.(2022广东)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB＝∠CDB.(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；

解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明如下：

∵AC为☉O的直径，

∴∠ADC＝∠ABC＝90°.

∴AB＝BC.

∴△ABC是等腰直角三角形.

∵∠ADB＝∠CDB，∴

.

(2)若AB＝，AD＝1，求CD的长度.

在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，

解：(2)在Rt△ABC中，AB＝BC＝，

∴AC＝＝2，

∴CD＝即CD的长为.14.(2025广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，.(1)求证：△BOC≌△DOC∴∠BOC＝∠DOC. ∵OC＝OC，OB＝OD，

∴△BOC≌△DOC(SAS).(1)证明：∵，

(2)求∠ABD的度数. (2)解：∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠ABC＝65°. ∴∠COB＝180°－∠ABC－∠OCB＝50°. ∴∠DOC＝∠BOC＝50°. ∴∠AOD＝180°－∠DOC－∠BOC＝80°. ∴∠ABD＝

∠AOD＝40°. 15.(2025深圳)如图，以矩形ABCD的点B为圆心，BC的长为半径作☉B，交AB于点F，E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转90°至EG，点G落在☉B上，且F为EG的中点.若AF＝1，AE＝3，则CD的长为____.616.(2025广州)如图，☉O的直径AB＝4，C为中点，点D在上，，P是AB上的一个动点，则△PCD最小值是(

)A.2＋B.2＋2C.3＋D.4＋4 B17.(2020广州)往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示.若水面宽AB＝48cm，则水的深度为(

)A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm C18.(2025陕西)如图，AB为☉O的直径，，

∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为____. 66°19.(2024连云港)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____°. 9020.

(2023广西)是当今世界上建造最早、保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为

7m，则主桥拱半径R约为

(

)A.20mB.28mC.35mD.40m B21.(2025广西)绣球是广西民族文化的特色载体.如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′(5，5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①(阴影部分)，同理得到叶瓣②. (1)写出A，B两点的坐标；

解：(1)如图，连接OO′. ∴OA2＋O′A2＝OO′2.∴∠OAO′＝90°. ∴四边形OAO′B是正方形. ∴∠AOB＝∠OBO′＝∠BO′A＝∠O′AO＝90°.∴A(0，5)，B(5，0). 依题意，得OA＝OB＝O′A＝O′B＝5，OO′＝

(2)求叶瓣①的；(结果保留π) 解：(2)依题意，得☉O，☉O′是等圆. ∵∠AOB＝∠AO′B＝