佳木斯大学《近世代数》2025-2026学年第二学期期末试卷(A卷)

站名：站名：年级专业：姓名：学号：凡年级专业、姓名、学号错写、漏写或字迹不清者，成绩按零分记。…………密………………封………………线…………第1页，共1页佳木斯大学《近世代数》2025-2026学年第二学期期末试卷(A卷)注意事项:1.请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.考试时间120分钟专业学号姓名题号一二三四五六七八总分统分人复查人得分得分评分人一、单项选择题（每题1分，共20分）1.设G是一个有限群，且|G|=2n，则G中元素a的阶为：A.1B.2C.nD.2n2.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的逆元是：A.aB.a^2C.a^(-1)D.a^2n3.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^2是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方4.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^3是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方5.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^4是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方6.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^5是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方7.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^6是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方8.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^7是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方9.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^8是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方10.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^9是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方11.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^10是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方12.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^11是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方13.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^12是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方14.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^13是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方15.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^14是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方16.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^15是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方17.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^16是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方18.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^17是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方19.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^18是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方20.设G是一个群，a是G的一个元素，则a的幂a^19是：A.a的逆元B.a的阶C.a的平方D.a的立方二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪些是群的定义条件？A.闭合性B.结合性C.存在单位元D.存在逆元2.以下哪些是循环群的特征？A.有一个生成元B.每个元素都是生成元的幂C.元素的阶都是有限的D.元素的阶都是无限的3.以下哪些是有限群的性质？A.元素的阶都是有限的B.存在单位元C.存在逆元D.结合性4.以下哪些是群同态的定义条件？A.保持结合性B.保持单位元C.保持逆元D.保持元素阶5.以下哪些是群同构的定义条件？A.保持结合性B.保持单位元C.保持逆元D.保持元素阶三、判断题（每题1分，共10分）1.任何非空集合都可以构成一个群。（）2.任何有限集合都可以构成一个群。（）3.任何无限集合都可以构成一个群。（）4.任何循环群都是有限群。（）5.任何有限群都是循环群。（）6.任何群都是交换群。（）7.任何交换群都是循环群。（）8.任何群都是阿贝尔群。（）9.任何阿贝尔群都是循环群。（）10.任何循环群都是阿贝尔群。（）四、名词解释（每题4分，共20分）1.群2.循环群3.群同态4.群同构5.阿贝尔群五、简答题（每题6分，共18分）1.简述群的定义及性质。2.简述循环群的定义及性质。3.简述群同态的定义及性质。六、案例分析题（1题，满分12分）阅读以下材料，回答问题：设G是一个群，a是G的一个元素，且a的阶为n。证明：G中存在一个元素b，使得b的阶为n。材料：设G是一个群，a是G的一个元素，且a的阶为n。我们需要证明G中存在一个元素b，使得b的阶为n。证明：（1）首先，我们证明G中存在一个元素b，使得b的阶为n。（2）假设G中不存在一个元素b，使得b的阶为n。那么，对于G中的任意元素b，其阶都小于n。（3）由于G是有限群，根据拉格朗日定理，G中任意元素的阶都是G的阶的约数。因此，G的阶小于n。（4）这与G是有限群且a的阶为n矛盾。因此，假设不成立，G中存在一个元素b，使得b的阶为n。（5）设b是G中阶为n的元素。那么，b的阶为n，即b^n=e，其中e是G的单位元。（6）由于a的阶为n，即a