全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第60讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【正文】听课手册

第十单元计数原理、概率、随机变量及其分布第60讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课标要求】通过实例,理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.分类加法计数原理与分步乘法计数原理内容区别与联系分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法(可推广至多类方案)

区别:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才能完成.联系:复杂问题中,需要两个计数原理综合应用.某一类中可能需要再分步,某一步中有可能需要再分类分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法(可推广至多个步骤)

题组一常识题1.[教材改编]音乐播放器里存有10首中文歌曲,8首英文歌曲,3首法文歌曲,从中任选一首歌曲进行播放,有种不同的选法.

2.[教材改编]食堂有大荤菜3个、小荤菜3个、素菜4个、汤1个,如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐,有种不同的搭配方式.

3.[教材改编]5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法共有种.若没有任何限制,每位同学随意报名,则不同的报名方法共有种.

题组二常错题◆索引:对“完成一件事”的含义理解不准确;计数时有重复或遗漏,不知道何时该分类,何时该分步,不区分元素是否可重复使用.4.书架的第1层放有6本不同的语文书,第2层放有5本不同的数学书,第3层放有4本不同的外语书.从书架中任取1本书,共有种不同的取法;从书架中的第1,2,3层各取1本书,共有种不同的取法.

5.我们把中间数位上的数字最大而两边减小的多位数称为“凸数”,如132,341等,那么由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是.

6.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有种不同的送法;(2)有5种不同的书(每种不少于3本),从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有种不同的送法.

分类加法计数原理例1(1)已知集合A={2,4,6,8},B={1,3,5,7,9},从A中取一个数作为十位数字,从B中取一个数作为个位数字,能组成个十位数字小于个位数字的两位数.

(2)[2025·安徽蚌埠模拟]空间中三个点A,B,C满足AB=BC=CA=1,在空间中任取2个不同的点,使得它们与A,B,C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点,则不同的取法种数为 ()A.8 B.9C.11 D.12总结反思(1)分类加法计数原理的实质:完成一件事的各类方法相互独立,每类中的各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.(2)使用分类加法计数原理遵循的原则:有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.变式题(1)椭圆x2m+y2n=1(m>0,n>0)的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为A.10 B.12C.20 D.35(2)[2025·重庆南开中学2月质检]小南将一枚骰子连续抛掷3次,每一次骰子都会等可能地出现1,2,3,4,5,6点,则3次骰子的点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有种.

分步乘法计数原理例2(1)[2025·山东淄博张店区三模]将编号为1,2,3的小球放入编号为1,2,3,4的小盒中,每个小盒至多放1个小球,要求恰有1个小球与所在盒子的编号相同,则不同的放法的种数为 ()A.7 B.9C.11 D.13(2)某公园有如图所示A至F共6个座位,现有2个男孩和2个女孩要坐下休息,要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列,则不同的坐法种数为 ()A.24 B.36 C.72 D.81总结反思(1)分步乘法计数原理的实质:完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,缺少其中的任何一步都不能完成这件事,只有当每个步骤都完成后,才能完成这件事.(2)使用分步乘法计数原理应注意的问题:①明确题目中所要完成的这件事是什么,确定完成这件事需要几个步骤.②将完成这件事划分成几个步骤来执行,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,这件事才能完成,这是分步的基础,也是关键.变式题(1)勒洛三角形是一种特殊三角形,指分别以正三角形的三个顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,且相邻区域颜色不同,则不同的涂色方案种数为 ()A.120 B.240C.300 D.320(2)某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四场公益讲座,主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”“+医疗的发展趋势”“低空经济的前景展望”“从人工智能、工业互联网到大数据”.已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习,则甲、乙两人不参加同一个讲座的选法共有种.(用数字作答)

两个计数原理的综合例3(1)若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选三个数字,组成没有重复数字的三位数,则这样的三位偶数一共有 ()A.20个 B.48个C.52个 D.120个(2)用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A,B,C,D,E,F涂色,要求相邻区域涂不同颜色,则涂色方法的种数是 ()A.120 B.72 C.48 D.24总结反思(1)复杂问题中,两个计数原理可以综合应用:可以先分类,在各类中再分步,或先分步,到某一步时按需要再分类处理.(2)涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析.变式题(1)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同染色方法的种数为 ()A.192 B.420 C.210