全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第48讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程【答案】听课手册

第八单元解析几何第48讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程●课前基础巩固【知识聚焦】1.(1)0°(2)0°≤α<180°(3)正切值tanα(4)y2.(1)(x2-x1,y2-y1)(1,k)(2)①90°②vu3.y-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-yAx+By+C=0(A2+B2≠0)【对点演练】1.-3120°(1,-3)(答案不唯一)[解析]由题意知直线l的斜率k=33-0即tanθ=-3,则倾斜角θ=120°,直线l的一个方向向量为(1,-3).2.5[解析]因为kAB=3-11-(-2)=23,kBC=m-143.(-1,-2)[解析]因为y+2=k(x+1),即y-(-2)=k[x-(-1)],所以该直线恒过点(-1,-2).4.3x-2y=0或x+y-5=0[解析]当在两坐标轴上的截距为零时,直线方程为3x-2y=0;当在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为xa+ya=1,则2a+3a=1,解得a=5,所以直线方程为x5.②④[解析]坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角,①中说法正确;若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为45°,②中说法错误;直线的倾斜角的取值范围是[0,π),③中说法正确;当直线的倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,④中说法错误.故填②④.6.[-3,0)∪33,1[解析]当α∈π6,π4时,k=tanα∈33,1;当α∈2π3,π时,k=tanα∈●课堂考点探究例1[思路点拨](1)根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项即可;(2)求出直线l的斜率的取值范围,利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线l的倾斜角的取值范围;(3)分别计算出直线过点A(8,1),B(5,8)时的斜率,结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围,即可得解.(1)CD(2)D(3)ABD[解析](1)对于A选项,当直线垂直于x轴时,斜率不存在,A选项错误;对于B选项,当倾斜角为锐角时,斜率为正,且倾斜角越大斜率越大,当倾斜角为钝角时,斜率为负,且倾斜角越大斜率越大,B选项错误;对于C选项,任何一条直线的倾斜角α均存在且α∈[0,π),C选项正确;对于D选项,垂直于y轴的直线与x轴平行或重合,由倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为0,D选项正确.故选CD.(2)直线l的斜率k=-a2+1≤1,设该直线的倾斜角为θ,则k=tanθ≤1,又因为0≤θ<π,所以当k<0时,θ∈π2,π,当k∈[0,1]时,θ∈0,π4,故θ∈(3)已知P(4,2),A(8,1),根据直线的斜率公式,可得kPA=2-14-8=-14.已知P(4,2),B(5,8),根据直线的斜率公式,可得kPB=8-25-4=6.如图,根据题意,直线l与线段例2[思路点拨](1)思路一:利用两点式和截距式将点的坐标代入即可求解;思路二:先利用斜率公式求出直线斜率,再利用点斜式求解即可.(2)先利用中点坐标公式求出边AC的中点D的坐标,再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可.(3)由垂直平分线的定义,利用斜率公式和点斜式求解即可.(4)由高的定义,利用斜率公式和点斜式求解即可.解:(1)方法一:由题意得△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0),由两点式得边AB所在直线的方程为y-46-4=x-由截距式得边AC所在直线的方程为x-8+y4=1,即x-2方法二:由题意得△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0),可得kAB=4-60-(-2)=-1,所以边AB所在直线的方程为y=-x因为kAC=4-00-(-8)=12,所以边AC所在直线的方程为y=12(2)方法一:设AC的中点为D,由中点坐标公式可得D(-4,2),由两点式得BD所在直线的方程为y-62-6=x+2方法二:设AC的中点为D,由中点坐标公式可得D(-4,2),则kBD=6-所以BD所在直线的方程为y-6=2(x+2),即2x-y+10=0.(3)因为kAC=4-00-(-8)=12,AC的中点为D(-4,2),所以AC边上的垂直平分线所在直线的方程为y-2=-2((4)因为kAC=4-00-(-8)=12,B(-2,6),所以AC边上的高所在直线的方程为y-6=-2(变式题(1)ABD(2)2x-y+4=0或2x-y-4=0[解析](1)若直线过原点,则直线方程为y=5x;若直线的斜率为1,则直线方程为y=x+4;若直线的斜率为-1,则直线方程为y=6-x.故直线的方程为y=5x或y=x+4或y=6-x.故选ABD.(2)设直线l的方程为y=2x+b,直线l与x,y轴的交点分别为A,B.令y=0,得x=-b2,得A-b2,0,令x=0,故y=b,故B(0,b),所以S△AOB=12·-b2|b|=4(O为原点),解得b=±4,故直线l的方程为2x例3[思路点拨](1)先判断当k=0时直线l是否符合要求,当k≠0时,将直线方程化为斜截式,结合条件列不等式求k的取值范围;(2)先求直线l在x轴和y轴上的截距,表示△AOB的面积,利用基本不等式求S的最小值.解:(1)当k=0时,方程x-ky+2+k=0可化为x=-2,直线l不经过第一象限,符合题意;当k≠0时,方程x-ky+2+k=0可化为y=1kx+2k+1,要使直线l解得-2≤k<0.综上,k的取值范围为[-2,0].(2)由题意可得k>0,对于x-ky+2+k=0,令y=0,得x=-2-k,令x=0,得y=2+k所以S=12|OA||OB|=12·2+kk·(2+122k·4k+4=4,当且仅当k=4k,即k=2时取等号,所以Smin变式题解:(1)由题意知,xA=5+2aa+1>0,yB=5+2a>0,则a>-1,所以xA·yB=5+2a4a2+204(a+1)+9a24(a+1)·9a+1+12=24,当且仅当4(a+1)=9a+1,即a=12此时直线l的方程为3x+2y-12=0.(2)因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数,所以不妨设5+2a=k(a+1),k