全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第41讲空间几何体【答案】听课手册

第七单元立体几何第41讲空间几何体●课前基础巩固【知识聚焦】1.(1)平行全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形(2)垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环2.(1)斜二测画法(2)①垂直②分别平行于坐标轴不变一半3.2πrlπrlπ(r+r')l4.S底h13S底h4πR243π【对点演练】1.④⑤[解析]对于①,经过不共面的四点的球,即为由这四个点组成的四面体的外接球,有且仅有一个,故①中说法正确;对于②,平行六面体的每个面都是平行四边形,故②中说法正确;对于③,正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直,故③中说法正确;对于④,棱台的每条侧棱延长后交于一点,侧棱有可能与底面垂直,故④中说法错误;⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥是错误的,因为这些三角形不一定有一个公共顶点,如图.故填④⑤.2.416[解析]根据题意,原图形△AOB的底边OB的长为4,高为16.3.2[解析]设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由条件得π可得r=2.4.28143[解析]如图,设正四棱台A1B1C1D1-ABCD的上、下底面的中心分别为O1,O,连接O1O,O1B1,OB,结合正四棱台的性质可知四边形O1OBB1为直角梯形,且OB=22,O1B1=2,所以O1O=B1B2-(OB-O1B1)2=16-25.1∶47[解析]设长方体的过同一顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则截出的棱锥的体积V1=13×12×12a×12b×12c=148abc,剩下的几何体的体积V2=abc-148abc=4748abc,所以V6.24π2或36π2[解析]设圆柱的底面半径为r.若圆柱的母线长是6π,则4π=2πr,所以r=2,所以圆柱的体积为π×22×6π=24π2.若圆柱的母线长是4π,则6π=2πr,所以r=3,所以圆柱的体积为π×32×4π=36π2.故圆柱的体积是24π2或36π2.●课堂考点探究例1[思路点拨]求出矩形O'A'B'C'的面积,再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系,求得结果.D[解析]依题意,矩形O'A'B'C'的面积S'=O'A'·O'C'=4,因为斜二测画法中直观图面积是原图形面积的24,所以▱OABC的面积为82.故选D变式题B[解析]如图,过点A'作A'C'∥x'轴,并与y'轴交于点C',则∠O'A'C'=120°,∠A'C'O'=45°,O'A'=3,则O'C'sin∠O'A'C'=O'A'sin∠O'C'A例2[思路点拨]根据最短路程为圆锥的侧面展开图中PP',由余弦定理求得∠P'OP=2π3及r=1,再求得圆锥的高与体积2222[解析]作出该圆锥的侧面展开图,如图所示,该小虫爬行的最短路程为PP',由余弦定理可得cos∠P'OP=OP2+OP'2-PP'22OP·OP'=32+32-(33)22×3×3=-12,所以∠P'OP=2π3.设底面圆的半径为变式题(1)D(2)B[解析](1)设小扇形的半径为xcm,则大扇形的半径为(x+9)cm,设圆台的上、下底面的半径分别为r1cm,r2cm,则2πr1=2π3x,2πr2=2π3(x+9),所以2π(r2-r1)=2π3×9,所以r2-r1=3,所以圆台的高为92-(r2-(2)将展开图还原成立体图形得到三棱柱ADI-BCJ,如图①.由已知可得,=4,DI=3,AD=5,易知△ADI为直角三角形且∠D=90°.将三棱柱的上底面ADI沿DI翻折至平面IDCJ上,A,C在DI两侧,连接AC,如图②所示.因为AJ=8,CJ=3,所以AC=32+82=73,则AK+CK的最小值为 例3[思路点拨](1)设原圆锥的底面半径为2,由圆锥和圆台的表面积公式计算可得.(2)设底面边长为a,根据侧棱长和高求出a=1,进而求出棱锥的斜高,最后求出棱锥的侧面积.(1)A(2)A[解析](1)不妨设原圆锥的底面半径为2,则高为23,则原圆锥的表面积为22π+4π×4×12=12π.小圆台的上、下底面的面积之和为22π+12π=5π,侧面积为(4π+2π)×2×12=6π,则表面积为11π.(2)设正六棱锥的底面边长为a,则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为a,又正六棱锥的高为1且侧棱长为2,根据正六棱锥的性质得2=a2+12,解得a=1,所以侧面等腰三角形的高h=(2)2-122=72,所以该正六棱锥的侧面积S=6×例4[思路点拨](1)设出底面半径,通过高结合侧面积相等,求出底面半径,然后求解圆锥的体积;(2)先根据题意把六面体ABCD-A1B1C1D1看成长方体的一部分,再结合柱体体积和锥体体积用该长方体的体积减去多余部分的体积即可求解.(1)B(2)B[解析](1)设底面半径均为R,圆锥的母线长为l,则l=3+R2.由题可知2πR·3=12×2πRl,解得l=23,则3+R2=23,∴R=3,∴圆锥的体积V=13πR2·3(2)在长方体A1B2C2D1-ABC3D2中,A1B2=AB=B1C1=4,BC=A1B1=AA1=2,根据题意可知,六面体ABCD-A1B1C1D1可以看成长方体A1B2C2D1-ABC3D2的一部分.因为长方体A1B2C2D1-ABC3D2的体积V=4×4×2=32,直三棱柱BB1B2-C3C1C2的体积V1=12×(4-2)×2×4=8,直三棱柱CC2C3-DD1D2的体积V2=12×(4-2)×2×4=8,三棱锥C-C1C2C3的体积V3=13×12×(4-2)×2×(4-2)=43,所以六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为V-V1-V2+V3=32-8-8+4【应用演练】1.C[解析]由题意知,水库水位为海拔148.5m时,相应水面(棱台的上底面)的面积为140.0km2=140×106m2,水库水位为海拔157.5m时,相应水面(棱台的下底面)的面积为180.0km2=180×106m2,水面上升的高度为157.5-148.5=9(m),所以增加的水量(棱台的体积)V=13×9×(140×106+140×106×180×106+180×106)=3×(320×106+607×106)≈3×(320×106+60×2.65×106)=1.437×109≈1.4×1092.A[解析]由题意得AD=32×2=3,C1D=(22)2+1=3,AC1=(22)2+22=23,因为AD2+C1D2=AC12,所以AD⊥C1D,所以S△ADC1=12AD·C1D=12×3×3=332,S△A1B1C1=34×22=3,S△ABD=12×2×1×sin60°=32,易知S△AA1C1=12×2×22=22,S矩形ABB1A3.ACD[解析]如图,因为圆锥PO的底面半径为3,高为33,所以母线长PA=6,则cos∠PAO=36=12,即圆锥的母线与底面所成的角为π3S侧=πrl=π×3×6=18π,故B错误;因为O'为PO的三等分点,所以O'M=13OA=1,MC=23PO=23,则圆柱的体积为23π,故C正确;圆柱的侧面积S'=2π×1×23=43π,则剩下几何体的表面积S=18π+43π+