【对称性在重积分中的应用分析2800字】

对称性在重积分中的应用分析本节将要讨论对称性在重积分中的应用，如何利用对称性来简化重积分计算，最终通过和普通解法形成对比突出对称性的优势[8].首先给出多元函数关于变量奇偶性的定义.定义1.1.1设f(x,y)在关于y轴对称的平面点集D上有定义，若对任意(x,y)∈D,都有f−x,y=−f(x,y)(或f−x,y=f(x,y)),则称f(x,y)是D上关于x的奇函数(或偶数).类似定义D上关于y的奇函数(或偶函数).[8]定义1.1.2设f(x,y)在关于原点对称的平面点集D上有定义，若对任意(x,y)∈D,都有f−x,−y=−f(x,y)(或f−x,−y=f(x,y)),则称f(x,y)是D上关于x定义1.1.2设f(x,y,z)在关于yOz平面对称的空间点集V上有定义，若对任意的点(x,y,z)∈V,都有f−x,y,z=−f(x,y,z)(或f−x,y,z=f(x,y,z)),则称f(x,y,z)是V上关于x的奇函数(或偶数).类似定义V上关于y或z的奇函数(或偶函1.1.1二重积分的对称性质定理1.1.1如果函数f(x,y)在平面区域Q上连续，则(1)如果Q是关于x轴对称的积分区域，关于y的奇(偶)函数是f(x,y),那么二重积分Qfx,ydxdy其中上半平面区域Q1是Q上的而且符合条件y≥0图1.1(2)如果Q是关于y轴对称的积分区域，关于x的奇(偶)函数是f(x,y)，那么二重积分Qfx,ydxdy其中上半平面区域Q2是Q上的而且符合条件x≥0(3)如果Q是关于原点对称的积分区域，关于x,y奇(偶)函数是f(x,y),则二重积分Qfx,ydxdy其中上半平面区域Q1是Q上的而且符合条件y≥0(4)积分区域Q关于y=x对称，则二重积分Qfx,ydxdy=证明这里只证明(1),(2)-(4)的证明是类似的.根据DfD1令x=xy=−t函数行列式可以表示为Jx,t代入D1D2所以得D2最后代入原式便可以得到定理1.1.1的(1).在利用对称性计算二重积分时，应注意积分区域是关于x轴、y轴、原点或y=x对称的.同时，被积函数也具有一定的对称性，两者缺一不可.1.1.2三重积分的对称性质定理1.1.2设连续函数f(x,y,z)是闭区域Ω上的，Ω空间上的闭区域而且关于xOy面对称，Ω1为Ω位于xOy面上z≥0的部分区域，则[5]Ωfx,y,z另外的闭区域Ω关于xOz面对称、f(x,y,z)为y的奇(偶)函数的情形，以及闭区域Ω关于yOz面对称、f(x,y,z)为x的奇(偶)函数的情形,能够有类似结论.1.1.3例题在一节中列举了几道二重积分，三重积分的题目，利用对称性来解决题目，有的也用普通方法来解题，通过对比来凸显出对称性的优势，是如何简便计算量.例1.5计算二重积分D(x解由于fx,y=x2+y是关于x的偶函数，D关于y轴对称，对称性原理可以得到：D若不用对称性，一般求解如下：Dx2=−2=4=342显然前一种方法更简单.（这题用到了定理1.1.1，对称性计算二重积分）例1.6计算二重积分Dxy解因为x,y是对称的且为偶函数，所以Dxy=4=2=16（这题用到了定理1.1.1，对称性计算二重积分）若不使用对称性求解，被积函数在D:x例1.7设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)>0,证明：ab解设D=x,y|a≤x≤b,a≤y≤b,D关于y=xabf=D=1=1=Ddxdy=(b−a)（这题用到了定理1.1.1，对称性计算二重积分）例1.8计算二重积分D(x2+xyex2解根据对称性,(1)原式=D=12=12=π4注释：Dx2dxdy(2)原式=Dx2=−11=23（这题用到了定理1.1.1，对称性计算二重积分）例1.9Dx解因为D是关于x,y轴对称而且被积函数还是关于x的偶函数，所以我们按照对称性原理就可以得出，原式=4=−201=83（这题用到了定理1.1.1，对称性计算二重积分的定理）利用对称性计算二重积分时，应同时考虑被积函数和被积面积，不能只考虑其中一个，这将对计算产生影响.通过普通方法解题和对称性解题进行对比发现，普通方法计算量大而容易计算错误，但是对称性解题则可以简化步骤，减少出错，一道题目用最简单，最不容易出错的方法去解决才是解题的人最聪明的体现，所以对于对称性我们还是要好好利用.例1.10计算三重积分Ωxlnx2,y解Ω是关于xoy面对称，被积函数xlnx2,（这题用到了定理1.1.2，对称性计算三重积分）三重积分的计算相对于二重积分复杂，但究其根本两者原理是一样的.有些题目如果使用传统方法做不出来，这时就要考虑对称性，往往在碰到被积函数复杂或没头绪的时候对称性是一个值得考虑的好方法.解题的时候重点是讨论被积函数和被积区域的对称性，以及被积函数的奇偶性，有些题目被积函数表面上看上去不具有对称性但实际上是需要我们仔细观察，就像做定积分时一样，把原本既不是奇函数也不是偶函数的被积函数进行转化就可以变成奇函数和偶函数的总和，这样再利用对称性