广西壮族自治区北流市2025-2026学年高一数学下学期4月联考试题【含答案】

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，，则等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直接求解.【详解】因为，，所以.故选:D.2.已知复数满足，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【详解】复数z满足,故，故.3.已知，则（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式计算可得.【详解】因为，两边平方得，整理得，所以.故选：A.4.在中，，，若，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图形的性质计算即可.【详解】如图所示，可知，所以.故选：A5.若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】且与不同向，进而求解即可得答案.【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，由，共线得，得，故.故选:D.6.在中，若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形C.等腰直角三角形 D.不含的直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论.【详解】由和正弦定理，可得，因，代入上式，化简得：，即，故得或，当时，，所以，此时是直角三角形；当时，，又，，则或（舍去），此时为等腰三角形.综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形.故选：B.7.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（）A.10m B.10m C.10m D.10m【答案】D【解析】【分析】在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，利用正弦定理求得BC，在Rt△ABC中，根据，即可得出答案.【详解】解：在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得＝，BC＝＝10（m）.在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BC×tan60°＝10（m）.故选：D.8.已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】在边长为2的正方形中，，设，，而，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.以下四种说法正确的是（）A.复数的虚部为B.C.若为纯虚数，则D.若复数，则在复平面内对应的点在第一象限【答案】BC【解析】【分析】根据题意，利用复数的定义，复数的运算法则，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，逐项判断，即可求解.【详解】对于A，复数的虚部为，所以A错误；对于B，由复数的运算法则，可得，所以B正确；对于C，由复数为纯虚数，则满足，解得，所以C正确；对于D，若复数，可得，则在复平面内对应的点为位于第四象限，所以D错误.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于直线对称D.函数向右平移个单位长度后可得到的图象【答案】ABC【解析】【分析】观察图象确定函数的最值，利用最值求出判断选项A，观察图象确定函数的最小正周期判断B，并利用最小正周期与的关系求出，由特殊点坐标求出的值，可得的解析式，根据正弦函数对称性判断C，再利用函数的图象变换判断D．【详解】对于A，观察函数的部分图象，可得函数的最大值为，最小值为，又，故，A正确；对于B，设函数的最小正周期为，观察图象可得，故，B正确又，所以，故，由，可得，故，，又，，所以，对于C，令，，可得，，取可得，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；对于D，把的图象向右平移个单位可得的图象，故D错误.11.已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（）A.B.当为中线时，C.当为高线时，D.当为角平分线时，【答案】ABD【解析】【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用判断D.【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确；因为的面积为，所以，即，因为，所以，因为，所以，则，则，在中利用余弦定理可得，，则，当为中线时，，则，即，得，故B正确；当为高线时，，得，故C错误；当为角平分线时，则，由，得，则，故D正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【详解】因为向量在向量方向上的投影向量是，所以，设非零向量的夹角为，根据题意可得，且，所以．13.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，化简得到，结合诱导公式，即可求解.【详解】因为，则.14.O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____【答案】【解析】【分析】结合平面向量共线定理求出两个三角形的高的比值，即可求得面积比值.【详解】取的中点为，连接，如下图所示：易知，所以，因此可得三点共线，易知与的公共边为，设点到边的距离为，可知到边的距离为，到边的距离为，所以.故答案为：四､解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求；（2）已知，且，求向量与向量的夹角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模；（2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角.【小问1详解】由题知，，，所以，所以.【小问2详解】由题知，，，设向量与向量的夹角为，所以，即，解得，因为，所以所以向量与向量的夹角为.16.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，的面积为，求边的长.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解；（2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解.【小问1详解】，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.【小问2详解】因为，又为的内角，则故，所以，所以.设角所对边分别为，因为，由正弦定理得.①因为三角形的面积为，所以.②由①②解得：，由余弦定理得，所以.17.已知在中，为中点，.（1）若，求；（2）若线段上一动点满足，试确定点的位置.【答案】（1）（2）点为线段的中点【解析】【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；（2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.【小问1详解】因为，所以，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.【小问2详解】因为点在线段上的一点，设，其中，则，所以，，又因为，且、不共线，所以，解得，此时点为线段的中点.18.记的内角所对的边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）本题可先根据向量数量积的定义将展开，再结合正弦定理进行化简，进而求出.（2）本题可根据正弦定理将用角表示，再结合三角形内角和为以及锐角三角形的条件，求出周长的范围即可.【小问1详解】因为，所以，所以，由正弦定理得：，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，即.【小问2详解】由正弦定理得，所以，所以，又，得，因为为锐角三角形，即，所以，，即，，则，所以的周长的取值范围为.19.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，求BC边上的高的最大值．（3）若的垂心为M（M在的内部），直线BM与AC交于点D，且，当最大时，求AB．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理得，再由余弦定理求；（2）由(1)中的结论可求得，运用基本不等式可得，即可求面积的最大值,据此求出高的最大值；（3）