八年级数学外角专题讲义和习题

同学们，我们已经学习了三角形的内角和定理，对三角形的内角有了一定的认识。今天我们来探讨三角形中另一个重要的角——外角。外角在几何计算和证明中有着广泛的应用，掌握好外角的性质，能帮助我们更灵活地解决各种几何问题。一、什么是三角形的外角？顾名思义，“外角”就是三角形外部的角。那么，它具体是如何定义的呢？定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。图形示意：（请同学们在草稿纸上画出一个三角形ABC，延长BC到点D，那么∠ACD就是△ABC的一个外角。）要点解读：1.外角的顶点是三角形的一个顶点。2.外角的一条边是三角形的一边。3.外角的另一条边是三角形另一边的延长线。4.每个三角形有6个外角（每个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，大小相等）。我们通常在每个顶点处取一个外角来研究。二、三角形外角的性质通过画图和简单的推理，我们可以发现三角形的外角具有以下重要性质：性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*理解：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，那么∠ACD=∠A+∠B。这里的∠A和∠B就是与外角∠ACD“不相邻”的两个内角，而∠ACB是与它“相邻”的内角。如何推导这个性质呢？我们知道三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠ACB=180°。而∠ACB+∠ACD=180°（因为它们组成一个平角）。所以，∠ACD=180°-∠ACB，而∠A+∠B=180°-∠ACB。因此，∠ACD=∠A+∠B。（等量代换）性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*理解：仍以上图为例，∠ACD>∠A，且∠ACD>∠B。*推导：由性质1可知∠ACD=∠A+∠B，因为∠A和∠B都是三角形的内角，都是正数，所以∠ACD自然大于∠A，也大于∠B。性质3：三角形的外角和等于360°。（在每个顶点处取一个外角）*理解：如果我们在△ABC的每个顶点处各取一个外角，例如∠1、∠2、∠3（请同学们自行标注），那么∠1+∠2+∠3=360°。*推导：结合性质1，每个外角等于不相邻的两个内角和。∠1=∠B+∠C∠2=∠A+∠C∠3=∠A+∠B所以∠1+∠2+∠3=2(∠A+∠B+∠C)=2×180°=360°。或者，我们也可以利用“一个平角是180°”来推导：三个顶点处，一个内角加一个外角为180°，三个平角就是540°，减去内角和180°，即得外角和360°。三、外角性质的应用掌握了外角的性质，我们就可以利用它们来解决一些与角有关的计算和证明题。主要应用场景：1.已知三角形的两个内角，求第三个内角的外角。2.已知三角形的一个外角和一个不相邻的内角，求另一个不相邻的内角。3.比较角的大小。4.证明角相等或角的和差关系。5.辅助解决平行线、角平分线等综合问题。四、例题精讲例1：如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，求∠ACB的外角∠ACD的度数。分析与解答：根据三角形外角性质1，∠ACD=∠A+∠B。所以∠ACD=70°+50°=120°。（或者，先求出∠ACB=180°-70°-50°=60°，再由∠ACB+∠ACD=180°，得∠ACD=120°。两种方法均可，体会性质1的便捷性。）例2：如图，∠1是△ABC的一个外角，∠1=100°，∠A=55°，求∠B的度数。分析与解答：因为∠1是△ABC的外角，且∠1与∠A、∠B不相邻（请同学们确认图形中∠1的位置，确保它确实是∠A和∠B的不相邻外角）。根据性质1，∠1=∠A+∠B。所以∠B=∠1-∠A=100°-55°=45°。例3：如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E。求证：∠E=1/2∠A。分析与解答：要证明∠E与∠A的关系，我们可以利用外角的性质。因为∠ACD是△ABC的外角，所以∠ACD=∠A+∠ABC。①因为∠ECD是△EBC的外角，所以∠ECD=∠E+∠EBC。②因为CE平分∠ACD，所以∠ECD=1/2∠ACD。③因为BE平分∠ABC，所以∠EBC=1/2∠ABC。④将③、④代入②得：1/2∠ACD=∠E+1/2∠ABC。⑤将①代入⑤得：1/2(∠A+∠ABC)=∠E+1/2∠ABC。左边展开：1/2∠A+1/2∠ABC=∠E+1/2∠ABC。两边同时减去1/2∠ABC，得：∠E=1/2∠A。证毕。五、练习题基础巩固1.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，求这个三角形的三个内角的度数。2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求与∠A、∠B、∠C相邻的三个外角的度数比。3.如图，直线a∥b，一块含30°角的直角三角板ABC（∠C=90°，∠A=30°）按如图方式放置，若∠1=25°，则∠2的度数为多少？（提示：利用平行线性质和外角性质）能力提升4.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=60°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，求∠DAE的度数。（提示：先求∠BAC，再求∠BAD，在Rt△AEB中求∠BAE）5.如图，已知AB∥CD，∠A=40°，∠C=60°，求∠E的度数。（提示：过点E作AB的平行线，或延长CE交AB于一点构造三角形外角）拓展思考6.我们知道三角形的外角和是360°，那么你能猜想一下四边形的外角和是多少度吗？五边形呢？你发现了什么规律？（提示：可以仿照三角形外角和的推导方法，从每个顶点处的内角与外角之和入手）六、练习题参考答案与提示基础巩固1.答案：50°，65°，65°或50°，50°，80°。提示：130°的外角对应的相邻内角为50°。这个50°的角可能是那个“不相邻的内角”，也可能不是。*若50°角是“不相邻的内角”，则另一个不相邻内角为130°÷2=65°，第三个角为180°-50°-65°=65°。*若50°角不是“不相邻的内角”，则两个不相邻内角之和为130°，其中一个是另一个的2倍。设较小角为x，则x+2x=130°，x=50°，2x=100°。但此时三个内角为50°（相邻内角）、50°、100°，检验：50°+50°+100°=200°≠180°，矛盾。所以这种情况不成立？或者我考虑错了？再仔细想想：外角130°，相邻内角50°。那么另外两个内角之和为130°（三角形内角和180°）。题目说“它（指外角130°）恰好等于一个不相邻的内角的2倍”。那么这“一个不相邻的内角”就是130°÷2=65°，则另一个不相邻内角为130°-65°=65°。所以三个内角是50°，65°，65°。刚才的第二种情况我把“相邻内角”也算进去了，不对，“不相邻”！所以只有第一种情况正确。答案应为50°，65°，65°。2.答案：7:6:5。提示：设∠A=2k，∠B=3k，∠C=4k。则2k+3k+4k=180°，k=20°。∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。对应的外角分别为140°，120°，100°。度数比为140:120:100=7:6:5。3.答案：55°。提示：假设三角板的30°角为∠A，直角顶点C在直线b上，一条直角边AC与直线a相交。∠1是三角板某条边与直线a形成的角。具体图形可能多样，但核心是利用平行线的同位角或内错角相等，再结合三角形外角性质。例如，若∠1是三角板的∠B（60°角）的一个外角的一部分，则可求出某个角，再结合平行线性质求出∠2。此题为常见题，关键是准确识图。能力提升4.答案：15°。提示：∠BAC=180°-30°-60°=90°。AD平分∠BAC，所以∠BAD=45°。AE⊥BC，在Rt△AEB中，∠BAE=90°-∠B=90°-30°=60°。所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=60°-45°=15°。5.答案：20°。提示：方法一（延长CE）：延长CE交AB于点F。因为AB∥CD，所以∠AFC=∠C=60°（内错角）。在△AEF中，∠AFC是外角，∠AFC=∠A+∠E，所以∠E=∠AFC-∠A=60°-40°=20°。方法二（过E作平行线）：过E作EF∥AB，则EF∥CD。∠AEF=∠A=40°，∠CEF=∠C=60°。若E在AB、CD之间，则∠E=∠CEF-∠AEF=60°-40°=20°。拓展思考6.答案：四边形外角和360°，五边形外角和360°，规律：